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maths flashla Mathématique est ce que n'est pas la Pensée Unique
9/2/2009 BIENVENUE DANS MATHS FLASH
10/14/2006 Coniques - 2ème Partie
VII- Critère de décomposition de la forme générale de l’équation à deux inconnues, du second degré par rapport à ces inconnues
Soit dans ce repère, l’équation :
A, B, C, D, E et F étant des coefficients réels quelconques. On admettra sans démonstration le critère suivant : Le premier membre de l’équation (1) se décompose en un produit de facteurs du premier degré par rapport à x ou y, si et seulement si, le déterminant du troisième ordre :
Exemple Soit dans un repère orthonormal l’équation suivante :
On a :
Par conséquent, le premier membre de l’équation donnée se décompose en un produit de facteurs du premier degré par rapport à x ou y. La transformation en deux étapes, décrite plus haut, donnera :
Soient les deux droites réelles d et d’ telles que :
d et d’, ayant leurs coefficients directeurs égaux à 1, sont parallèles. L’équation donnée a pour solution l’ensemble :
VIII- Invariants de l’équation à deux inconnues, du second degré par rapport à ces inconnues On admettra sans démonstration la propriété suivante : L’équation :
A, B, C, D, E et F étant des coefficients réels quelconques admet trois invariants, par passage d’un repère orthonormal à un autre.
IX- Trois genres de courbes
Soit dans ce repère, l’équation :
A, B, C, D, E et F étant des coefficients réels quelconques.
Soit (G) sa courbe représentative dans le repère donné. On admettra les résultats suivants :
Exemples Dans tous les exemples donnés ci-dessous, le repère est orthonormal. 1- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative.
On calcule le discriminant :
On a :
Soient les deux droites d et d’ d’équations respectives :
et
L’équation donnée est donc représentée par :
2- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative.
On calcule le discriminant :
On a :
Soient les deux droites d et d’ d’équations respectives :
et
d et d’ ont leurs coefficients directeurs égaux à 1 ; donc elles sont parallèles.
L’équation donnée est donc représentée par :
3- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative. On démontre que (G) est du genre parabole et que l’équation est représentée par Je te laisse démontrer ces résultats.
4- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative.
On calcule le discriminant :
On a :
Soient les deux droites d et d’ d’équations respectives :
et
d et d’ sont deux droites imaginaires dont l’intersection est l’origine O(0,0) du repère. L’équation donnée est donc représentée par :
Elle admet une solution réelle : O(0,0)
5- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative.
Le premier membre ne pouvant pas être égal à un réel strictement positif, 1, l’équation donnée est donc celle d’une ellipse imaginaire.
6- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative. Je te laisse démontrer que la courbe représentative de cette équation est du genre parabole et que, le premier membre de l’équation pouvant se décomposer en un produit de facteurs du premier degré par rapport à x ou y, la solution est l’ensemble :
d et d’ sont deux droites imaginaires parallèles.
7- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative.
Je te laisse trouver, par une rotation suivie d’une translation du repère, l'équation canonique de cette parabole.
X- Conique à centre L’ellipse, l’hyperbole et l’union de deux droites concourantes possèdent, chacune, un centre de symétrie. Chacune d’elles est dite conique à centre unique. Les coniques du genre parabole n’ont pas de centre ou en possèdent une infinité.
Soit dans ce repère, l’équation :
A, B, C, D, E et F étant des coefficients réels quelconques. On suppose que cette équation représente une conique (G) à centre.
On admettra la propriété suivante : Les coordonnées du centre W de la conique vérifient le système d’équations :
Etant donné que la conique est à centre unique, on a donc la condition suivante remplie :
Le système (1) admet donc une solution unique (x0 , y0) telle que :
Conclusion Pour trouver les coordonnées d’une conique à centre il suffit de résoudre le système d’équations (1).
Exemple Dans un repère orthonormal , on donne la conique d’équation :
a) Démontre que cette conique est une conique à centre unique b) Trouve les coordonnées de ce centre. Solution a)
b)
Le premier membre de l’équation peut donc se décomposer en un produit de facteurs du premier degré par rapport à x ou y. La conique est l’union deux droites.
Les coordonnées de W vérifient le système :
Sa solution (x0 , y0) est telle que :
Exercices
1- Dans un repère orthonormal , on donne l’ensemble (E) des points M du plan vérifiant l’équation :
On demande de trouver le genre et une équation simplifiée de (E). (E) est du genre parabole et on doit trouver comme équation simplifiée de (E), l’équation :
2- Dans un repère orthonormal , on donne l’ensemble (D) des points M du plan vérifiant l’équation :
On demande d’expliciter (D). On doit trouver que (D) est l’union de deux droites concourantes (d) et (d’) d’équations respectives :
3- Dans un repère orthonormal , on donne l’ensemble (F) des points M du plan vérifiant l’équation :
On demande d’expliciter (F). On doit trouver que (F) est l’union de deux droites (d) et (d’) d’équations respectives :
4- Dans l’exemple donné au paragraphe V-2, on a trouvé que, dans un repère orthonormal, le genre de la courbe (E) représentative de l’équation :
était une ellipse. Trouve les coordonnées de son centre. Si I est ce centre, on doit trouver :
5- Dans un repère orthonormal, on donne l’ensemble (G) des points M du plan vérifiant l’équation :
Démontre que (G) est une parabole et trouve, par un changement de repère, son équation réduite. On doit trouver :
comme équation réduite.
6- Dans un repère orthonormal, on donne l’ensemble (F) des points M du plan vérifiant l’équation :
Démontre que (F) est une ellipse et trouve, par un changement de repère, son équation réduite. On doit trouver :
comme équation réduite.
7- a) On donne dans l’espace un cylindre droit dont la base est un cercle de rayon r. Ce cylindre est coupé par un plan qui fait un angle a avec la base. On note (E) l’intersection de ce plan avec ce cylindre. Explicite (E). b) Dans ce même espace, le plan précédent rencontre un cône circulaire ; l’intersection est notée (I). Ce plan est parallèle à deux génératrices distinctes du cône. Donne la nature de (I). Applications affine et linéaire - 2ème Partie
V- Positions relatives de deux droites du plan V-1 Droites parallèles 1er cas : le plan P est muni d’un repère orthonormal. Soit une application affine f définie comme suit :
Son graphe est la droite d.
Pour x nulle, y est égale à b ; d passe donc par le point A d’abscisse nulle et d’ordonnée à l’origine égale à b. Soit la droite d’ passant par A et parallèle à l’axe des abscisses. Soit la demi-droite [Ot) dont la direction est parallèle à d.
Soit M un point quelconque de d, d’abscisse non nulle. d’ rencontre la droite perpendiculaire à l’axe des abscisses abaissée de M au point H. Le triangle (AHM) est donc un triangle rectangle en H. Dans ce triangle, on a :
A et H appartenant à la droite d’ parallèle à l’axes des abscisses ont leurs ordonnées égales ; donc :
M et H appartenant à la droite (HM) parallèle à l’axes des ordonnées ont leurs abscisses égales; donc :
En remplaçant dans l’égalité (1), les coordonnées de H par leurs égales ainsi trouvées on obtient :
Or, on a :
Donc,
On obtient finalement :
Comme l’abscisse x de M est non nulle, on peut simplifier par :
D’où le résultat :
Dans un repère orthonormal, le graphe d’une application affine dont les coefficients sont différents de 0, est une droite formant avec l’axe des abscisses un angle aigu dont la tangente est égale à la valeur absolue du coefficient directeur. Ce coefficient directeur est souvent appelé pente de la droite représentative de l’application affine. Un cas particulier De cette propriété, on déduit immédiatement que si a est nul, alors :
d devient donc parallèle à l’axe des abscisses.
Soit une seconde application affine g définie comme suit :
Soit D son graphe. D’après la propriété démontrée ci-dessus, si f et g ont leurs coefficients directeurs égaux, alors leurs graphes sont parallèles. Réciproquement, soient dans un plan muni d’un repère orthonormal, deux droites d et D telles que : D et d différentes de l’axe des ordonnées et non parallèles à cet axe D et d parallèles Alors, les coefficients directeurs des applications affines que représentent D et d sont égaux.
Conclusion Dans un plan muni d’un repère orthonormal, pour que deux droites différentes de l’axe des ordonnées et non parallèles à cet axe soient parallèles il faut et il suffit que leurs pentes soient égales.
2ème cas : le plan P est muni d’un repère quelconque. La propriété ci-dessus reste valable, puisque l’une quelconque des deux droites se déduit de l’autre par une translation.
Dans tout ce qui suit le plan sera muni d’un repère orthonormal
V-2 Droites perpendiculaires Préalable Soit un triangle rectangle (ABC) quelconque, rectangle en A. Abaissons la hauteur [AH] relative à l’hypoténuse.
Parmi les propriétés métriques d’un triangle rectangle, on a : La longueur h de la hauteur, est moyenne proportionnelle aux longueurs des projetés orthogonaux des deux côtés de l’angle droit sur l’hypoténuse. Ainsi :
Propriété Soient dans un plan P muni d’un repère orthonormal, deux droites perpendiculaires d et D représentatives respectivement des applications affines f et g définies comme suit :
d et D ayant respectivement pour coefficients directeurs a et a’, leurs angles aigus avec l’axe des abscisses sont respectivement :
Soit le cercle (C) de centre l’origine O du repère et de rayon égal à la longueur commune, égale à 1u.l des deux vecteurs unitaires de ce même repère Soit H l’intersection de ce cercle et de l’axe des abscisses. De O, menons les droites d’ et D’ respectivement parallèles à d et D.
On obtient ainsi un triangle rectangle (OPQ), rectangle en O, avec :
Dans ce triangle rectangle, on a :
Ce qui donne :
Donc,
P et Q sont de part et d’autre de l’axe des abscisses ; donc on peut écrire :
D’après la propriété métrique dans un triangle rectangle, rappelée en préalable, on a :
Finalement, on obtient :
Dans un plan muni d’un repère orthonormal, deux droites distinctes des axes du repère, non parallèles à ces axes et perpendiculaires, ont le produit de leurs pentes égale à – 1. Réciproquement, dans un plan muni d’un repère orthonormal, deux applications affines de coefficients directeurs a et a’ différents de zéro et tels que a.a’ égal à – 1 ont leurs graphes perpendiculaires. Cette réciproque est facile à démontrer puisque tout triangle vérifiant la propriété rappelée ci-dessus en préalable est un triangle rectangle.
Conclusion Dans un plan muni d’un repère orthonormal, pour que deux droites, distinctes des axes de ce repère et non parallèles à ces axes, soient perpendiculaires, il faut et il suffit que le produit des coefficients directeurs des applications affines qu’elles représentent soit égale à – 1.
Récapitulation générale Le plan est muni d’un repère quelconque
L’axe des abscisses a pour équation :
On dit que l’ensemble des points du plan d’ordonnées nulles est l’axe des abscisses.
L’axe des ordonnées a pour équation :
On dit que l’ensemble des points du plan d’abscisses nulles est l’axe des ordonnées.
L’équation de toute droite parallèle à l’axe des ordonnées est de la forme :
On dit que l’ensemble des points du plan d’abscisses constantes est une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
L’équation de toute droite parallèle à l’axe des abscisses est de la forme :
On dit que l’ensemble des points du plan d’ordonnées constantes est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
L’équation de toute droite distincte des axes du repère et non parallèle à ces axes est de la forme :
Deux droites d et d’ représentatives des deux applications affines f et g définies comme suit :
- sont concourantes si et seulement si a et a’ sont distincts - sont parallèles si et seulement si a et a’ sont égaux et b et b’ sont distincts - sont confondues si et seulement si a et a’ sont égaux et b et b’ sont égaux
Le plan est muni d’un repère orthonormal
Les conclusions ci-dessus sont encore valables. De plus, pour que deux droites distinctes des axes du repère et non parallèles à ces axes soient perpendiculaires, il faut et il suffit que le produit des coefficients directeurs des applications affines qu’elles représentent soit égal à – 1.
Transformations ponctuelles - 2ème Partie
Exercices 1)
Solution On sait que :
Donc,
Deux vecteurs sont égaux (on dit aussi équipollents) si et seulement si leurs composantes scalaires de même nom sont égales ; donc :
Ces deux égalités impliquent :
2)
Solution On sait que la symétrie centrale de centre O, origine du repère, transforme un point M(x,y) en un En posant SO, on obtient :
On sait que la symétrie axiale d’axe, l’axe des abscisses, transforme un point M (x,y) en un point En posant Sx’x, on obtient :
On sait que la symétrie axiale d’axe, l’axe des ordonnées, transforme un point M (x,y) en un point En posant Sy’y, on obtient :
3) Dans le plan, on donne un triangle quelconque (ABC). Soit A’ le symétrique de A par rapport à la droite (BC). Démontre que l’aire du triangle (A’BC) est égale à celle du triangle (ABC). Solution Les triangles (ABC) et (A’BC) sont symétriques dans la symétrie axiale d’axe (BC). Or, on sait que la symétrie axiale conserve les aires, donc les triangles (ABC) et (A’BC) ont même aire.
4) Dans le plan, on donne le parallélogramme (ABCD) de centre O (O est donc l’intersection de ses diagonales). a- Démontre que les triangles (ABD) et (CDB) ont même aire. Que peux-tu en conclure ? b- D’un point quelconque K appartenant à (BD), on mène une droite parallèle à (AB) qui rencontre Toujours de K, on mène une droite parallèle à (BC) qui rencontre (AB) et (DC) Démontre que les aires des parallélogrammes (KGCF) et (AEKH) sont égales. Solution a- Soit SO la symétrie centrale de centre O. On sait que dans un parallélogramme, l’intersection des diagonales est le milieu de ces dernières. Par conséquent :
Ainsi,
Or, on sait que la symétrie centrale conserve les aires ; donc les triangles (ABD) et (CDB), étant Conclusion : une diagonale d’un parallélogramme partage ce dernier en deux triangles de même aire. b- Pour simplifier les écritures, l’aire d’une figure F se notera : a(F). D’après la conclusion ci-dessus, on a : [BD] étant une diagonale du parallélogramme (ABCD), a(ABD) est égale à a(BCD) [BK] étant une diagonale du parallélogramme (EBGK), a(EBK) est égale à a(BGK) [KD] étant une diagonale du parallélogramme (KFDH), a(KHD) est égale à a(KFD) Or, on a :
Deux quantités égales à une même troisième sont égales ; donc les parallélogrammes (AEKH) et (KGCF)
5)
Solution Il s’agit là d’une construction géométrique.
Si A’ est l’image de A par la rotation Rot(O,30°), alors :
Je trace donc le cercle de centre O et de rayon OA. Le point A’ sera l’intersection de ce cercle et de la demi-droite [Ox) faisant avec [OA) un angle balayé dans le sens contraire des aiguilles d’une montre et égal à 30°. Si B’ est l’image de B par la rotation Rot(O,30°), alors :
Je trace donc le cercle de centre O et de rayon OB. Le point B’ sera l’intersection de ce cercle et de la demi-droite [Oy) faisant avec [OB) un angle balayé dans le sens contraire des aiguilles d’une montre et égal à 30°.
6)
Solution On sait que la pente 2 de la droite d est la tangente de l’angle aigu que forme d avec l’axe des abscisses.
L’image du support (x’x) de l’axe des abscisses par cette rotation est donc la droite D passant par O et de pente 2.
7)
Solution La méthode : on calcule d’abord les coordonnées des images A’ et B’ de A et B par la translation donnée ; puis on applique les formules donnant les coordonnées de M’ milieu de [A’B’].
On sait que si M’(x’,y’) est milieu de [A’B’], alors :
Donc,
8)
Solution Dans le repère donné, on place les points A, B, C, D, E et F. a)
Il en sera de même pour les deux autres questions de 1) ; je te laisse donc démontrer que l’on a :
b)
c)
Par ailleurs, on a :
Finalement, on obtient :
9)
Solution Soit :
l’équation de d’. La translation transformant une droite en une droite qui lui est parallèle, la pente de d’ devra donc être L’équation de d’ prend la forme :
d rencontre l’axe des ordonnées au point B(0,– 1).
Or, B’ appartient à d’ ; ces coordonnées vérifient l’équation de d’. On a donc :
L’équation de d’ est finalement :
7/10/2006 Géométrie analytique dans l'espace - 1ère partieAuteur : Raymond RICHA
Géométrie analytique dans l'espace
1- Base et repère de l’espace – Vecteurs dans un repère de l’espace
On note :
Propriétés
Soit O un point quelconque de cet espace.
Ce repère possède un des deux sens : direct ou indirect.
Lorsque le repère est donné sans aucune indication quant à sons sens, ce dernier est supposé direct.
Repère orthonormal
Remarques Toute propriété satisfaite dans un repère quelconque l’est également dans tout repère particulier. Si la nature du repère n’est pas explicitement précisée, alors on considèrera qu’il est un repère direct et quelconque.
Dans ce repère, on retrouve les mêmes propriétés citées en début de ce chapitre :
Soient, dans ce repère, deux points quelconques et distincts A(x,y,z) et B(x’,y’,z’). D’après la relation de Chasles, on peut écrire :
Or,
Par conséquent,
La première composante est la différence entre l’abscisse de l’extrémité du vecteur considéré et celle de son origine. La seconde composante est la différence entre l’ordonnée de l’extrémité du vecteur considéré et celle de son origine. La troisième composante est la différence entre la cote de l’extrémité du vecteur considéré et celle de son origine.
2- Parallélisme
Dans un repère, deux vecteurs non nuls ont leurs directions ou supports parallèles si et seulement si leurs composantes scalaires de même nom sont proportionnelles. Ce théorème est logiquement équivalent au suivant : Dans un repère, deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leurs composantes scalaires de même nom sont proportionnelles.
d // d’
3- Vecteurs orthogonaux - Produit scalaire
Il est évident que si deux vecteurs sont orthogonaux, alors deux vecteurs qui leur sont respectivement colinéaires sont également orthogonaux.
d et d’ sont orthogonales
Propriétés 1- Comme la multiplication dans R, ensemble des nombres réels, est commutative et comme deux angles orientés opposés ont même cosinus, il est alors évident que le produit scalaire des vecteurs est également commutatif. On écrit :
2-
3-
Théorème
Démonstration
Expression analytique du produit scalaire dans un repère de l’espace
C’est l’expression analytique générale du produit scalaire de deux vecteurs de l’espace muni Si le repère est normal, avec :
alors,
Si le repère est orthogonal, alors :
De plus, sachant que le produit scalaire est commutatif, l’expression devient :
Si le repère est orthonormal, alors :
et
Dans ces conditions, l’expression analytique du produit scalaire se D’après ce qui a été dit et démontré précédemment, on a le théorème important suivant : Dans l’espace muni d’un repère orthonormal, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si l’expression analytique de leur produit scalaire est nulle.
Une application directe du produit scalaire dans l’espace muni d’un repère orthonormal
Si de plus, ce vecteur est différent du vecteur nul, alors :
De la même manière, on établit les deux autres relations :
Cette relation est l’expression analytique du théorème de Pythagore. Dans un repère orthonormal de l’espace, le produit scalaire permet ainsi de calculer la distance entre deux points ou encore la longueur d’un segment de cet espace.
4- Equations de la droite, du plan et de quelques figures ou solides remarquables de l’espace muni d’un repère orthonormal
Equation d’un plan passant par un point donné et orthogonal à un vecteur non nul donné
Démonstration
Conclusion : Dans l’espace muni d’un repère orthonormal, l’équation d’un plan est de la forme générale :
Théorème Dans l’espace, muni d’un repère orthonormal, deux plans distincts sont parallèles si seulement si deux de leurs vecteurs normaux respectifs sont colinéaires.
Démonstration
On suppose que P et Q sont parallèles et on démontre que leurs vecteurs normaux respectifs :
sont colinéaires. P et Q étant parallèles, toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.
Réciproque On suppose que P et Q sont tels que :
On démontre que P et Q sont parallèles. Les deux vecteurs précités étant colinéaires, ont même direction. P et Q étant orthogonaux à ces deux vecteurs, sont orthogonaux à cette direction, donc ils
Conséquence
Si de plus α, β et γ sont différents de 0, alors cette condition nécessaire et suffisante peut s’écrire :
Cette conséquence sert souvent à démontrer le parallélisme de deux plans inclus dans un espace muni d’un repère orthonormal. Remarque :
Dans l’espace, muni d’un repère orthonormal, deux plans distincts sont orthogonaux si et seulement si deux de leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.
Démonstration
Les vecteurs :
leur sont respectivement normaux. On suppose que P et Q sont orthogonaux et on démontre que ces deux vecteurs sont orthogonaux.
P et Q étant distincts, se coupent selon la droite D. Soit A un point quelconque de D. Dans P, on élève de A une droite d perpendiculaire à D. Dans Q, on élève de A une droite d’ perpendiculaire à D. P et Q étant orthogonaux, l’angle dièdre (d, d’) est droit. d et d’ sont donc respectivement orthogonales à Q et à P.
On suppose que P et Q sont tels que :
On démontre que P et Q sont orthogonaux.
L’angle (d,d’) est droit. Soit (xx’) l’intersection des plans P et Q. Le plan (d,d’) rencontre (xx’) au point H. La droite d rencontre P au point F et la droite d’ rencontre Q au point G.
(HF) étant parallèle à d’ et d’ étant orthogonale à Q, (HF) l’est également ; par conséquent (HF) est orthogonale à toute droite de Q et en particulier à (x’x) ; de même, (HG) étant parallèle à d et d étant orthogonale à P, (HG) l’est également ; par conséquent (HG) est orthogonale à toute droite de P et en particulier à (x’x).
Par conséquent P et Q sont orthogonaux.
Conséquence Soient, dans un espace muni d’un repère orthonormal, deux plans définis comme suit :
Cette conséquence sert souvent à démontrer l’orthogonalité de deux plans inclus dans un espace muni d’un repère orthonormal.
Plan passant par trois points, deux à deux distincts, non alignés, donnés
On sait que de tels points définissent entièrement un plan que l’on désigne par P. Connaissant les coordonnées de ces points, il s’agit de trouver l’équation cartésienne (E) de P dont la forme générale est :
Chacun de ces trois points appartenant à P a ses coordonnées vérifiant (E). On obtient ainsi un système de trois équations à quatre inconnues :
En prenant ces équations deux à deux, et en soustrayant membre à membre, on élimine δ. (1) et (2) donnent :
(1) et (3) donnent :
(2) et (3) donnent
Finalement, on obtient un système de trois équations à trois inconnues
Comme trois points deux à deux distincts et non alignés déterminent un plan, ce système doit admettre au moins une solution. Par ailleurs, le déterminant de Cramer étant nul, il admet donc une infinité de solutions. On fixe donc une des inconnues, par exemple α, en la supposant différente de zéro et on calcule les deux autres, β et γ, en fonction de α. Pour déterminer δ en fonction de α, il suffit d’utiliser une des trois équations (1), (2) et (3). Revenant à la forme générale de l’équation (E), et en remplaçant les trois inconnues calculées en fonction de α, on obtient une équation de la forme :
Comme α est non nulle, on peut simplifier et ainsi obtenir l’équation recherchée :
Exemple
Ces trois points étant deux à deux distincts et non alignés définissent donc un plan.
A, B et C appartenant à P, leurs coordonnées respectives doivent vérifier cette équation ; on a donc :
En soustrayant les deux membres des deux premières équations, on obtient :
En soustrayant les deux membres des deux dernières équations, on obtient :
En soustrayant les deux membres de la première et troisième équation, on obtient :
On obtient finalement le système :
Ce système dont le discriminant de Cramer est nul, admet une infinité de solutions, du fait que On fixe la composante α en la supposant non nulle. Les deux dernières équations donnent, par addition membre à membre, une relation entre α et β :
La première équation donne γ en fonction de α et β :
La première équation du premier système donne :
(E) devient :
D’où l’équation de P :
Plan passant par un point donné et orthogonal à une droite donnée
On demande de trouver l’équation (E) du plan P passant par A et orthogonale à d.
A appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z Exemple
A appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z
L’équation (E) est finalement :
Plan passant par deux points distincts donnés et parallèle à une droite donnée, les deux points étant tels que la droite qu’ils définissent et celle donnée sont non coplanaires
On demande de trouver l’équation (E) du plan P contenant [AB] et parallèle à d.
Un de ses vecteurs normaux est :
On a donc :
A appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z
B appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z
On obtient ainsi un système de quatre équations à quatre inconnues u, v, w et δ. Son discriminant étant nul, il admet donc une infinité de solutions. En fixant une des quatre inconnues, par exemple u, et en la supposant non nulle, on calcule les trois autres en fonction de celle-ci. Revenant à la forme générale de l’équation (E), et en remplaçant les trois inconnues calculées
Comme u est non nulle, on peut simplifier et ainsi obtenir l’équation recherchée :
Exemple Trouve l’équation du plan P passant par les points A(1,1,1) et B(2,3,4) et parallèle à l’axe des cotes z’z.
Un de ses vecteurs normaux est :
On a donc :
A appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z
B appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z
D’où le système :
Le discriminant de Cramer du système étant nul, ce dernier admet une infinité de solutions. En fixant la composante u, supposée non nulle, on calcule δ et v en fonction de celle-ci. Les deux dernières équations permettent de calculer v en fonction de u ; on obtient :
La deuxième équation permet de calculer δ en fonction de u ; on obtient :
En simplifiant par u, non nulle, on obtient finalement :
Géométrie analytique dans l'espace - 2ème partieAuteur : Raymond RICHA
Géométrie analytique dans l'espace
suite
Distance d’un point à un plan
On abaisse de A la droite d orthogonale à P qui rencontre ce dernier au point H. Par définition, AH est la distance du point A au plan P.
On a donc :
Donc,
Equations d’une droite dont un des vecteurs directeurs est donné
Un point M(x,y,z) de cet espace appartient à d si et seulement s’il existe un réel λ et un seul tel que :
Ce sont là les équations paramétriques de la droite d. Si de plus d n’est parallèle à aucun des axes du repère et n’est confondue avec aucun de ces axes, alors cette condition nécessaire et suffisante s’écrit sous la forme d’une situation de proportionnalité :
Réciproquement, tout système de la forme :
définit les équations paramétriques d’une droite passant par le point de coordonnées a, b et c et ayant pour vecteur directeur de composantes scalaires α, β et γ.
Pour tout point M(x , y, z) de la droite d, il existe un réel λ et un seul tel que :
Réciproquement, pour tout réel λ, le système :
définit un point M(x , y, z) unique appartenant à la droite d. Lorsque le paramètre réel λ parcourt l’ensemble des nombres réels, le point M(x , y , z) parcourt la droite d.
Intersection de deux plans
On sait que s’il existe au moins un réel non nul λ tel que :
alors P et Q sont parallèles.
Dans le cas contraire, c’est-à-dire si les coefficients réels u, v et w ne sont pas respectivement proportionnels aux coefficients réels u’, v’ et w’, alors P et Q, étant distincts, ne sont pas parallèles et se coupent selon une droite d. d est ainsi l’intersection de ces deux plans.
Réciproquement, tout système de deux équations de la forme :
et tel que les coefficients réels u, v et w ne sont pas respectivement proportionnels aux coefficients réels u’, v’ et w’ représente une droite qui est intersection des plans d’équations respectives :
est appelé système d’équations représentant la droite d.
Passage du système d’équations représentant une droite aux équations paramétriques de cette droite Une droite d est donnée par un système de deux équations de la forme :
On se propose de trouver ses équations paramétriques. On prend deux points distincts A et B arbitraires tels que leurs coordonnées respectives vérifient le système donné.
Pour tout point M(x, y, z) appartenant à d, il existe au moins un réel λ et un seul tel que :
Si de plus m, n et p sont différents de 0, on peut écrire la situation de proportionnalité :
Exemple
On demande de trouver les équations canoniques de cette droite. Si l’on prend une valeur arbitraire pour x, par exemple 0, on constate que le système :
n’admet aucune solution. On verra par la suite pourquoi on ne peut donner à x une valeur arbitraire. Soit z égale à 0 ; le système devient :
Le discriminant est égal à :
Ce discriminant étant différent de zéro, le système admet une solution unique dans R2.
Cette solution est :
Soit y égale à 0 ; le système devient :
Le discriminant est égal à :
Ce discriminant étant différent de zéro, le système admet une solution unique dans R2. Cette solution est :
M(x , y, z) étant un point quelconque de cet espace, on a donc la suite des équivalences logiques suivante :
Parallélisme et orthogonalité de deux droites dont les équations sont données
d et d’ont pour vecteurs directeurs :
Théorème d et d’ sont parallèles si et seulement si les directions ou supports de ces vecteurs directeurs sont parallèles. Ce qui se traduit par :
Théorème d et d’ sont orthogonales si et seulement si le produit scalaire des mêmes vecteurs directeurs Ce qui se traduit par :
Distance d’un point à une droite dont les équations sont données
On demande de calculer la distance de A à d. On mène de A le plan P orthogonale à d qui rencontre cette dernière au point H. Comme d est orthogonale à P, elle est orthogonale à toute droite incluse dans P et en particulier Par définition, AH est la distance de A à d.
La méthode pour calculer AH 1- On cherche l’équation du plan P 2- On calcule les coordonnées de H 3- Connaissant les coordonnées de A et de H, on applique le théorème de Pythagore
Exemple
(L’unité de mesure des longueurs prise dans le repère est le centimètre) On demande calculer la distance de A à d au dixième près par défaut. On mène de A le plan P orthogonale à d qui rencontre cette dernière au point H. Equation de P La forme générale de l’équation de P est :
d étant orthogonale à P, tout vecteur directeur de d est un vecteur normal de P.
A appartenant à P, ses coordonnées vérifient donc l’équation de P et on a :
Finalement, l’équation de P est :
Coordonnées de H
H étant l’intersection de d et de P, ses coordonnées vérifient le système :
On a donc :
La situation de proportionnalité permet de calculer l’ordonnée et la cote de H en fonction de
Par conséquent,
Calcul de AH Le théorème de Pythagore appliqué dans cet espace donne :
5- Coordonnées du barycentre d’un système de points pondérés de l’espace muni d’un repère orthonormal
Ce sont là les relations donnant les coordonnées du barycentre G en fonction des coordonnées Exemples 1-
2-
6- Equations cartésiennes de solides remarquables pris dans un espace muni d’un repère orthonormal
6-1 La sphère
L’ensemble des points M(x , y, z) de cet espace tels que AM est égale à r est appelée sphère de centre A et de rayon r. Cet ensemble sera noté S(A,r). Le théorème de Pythagore permet d’écrire :
On obtient ainsi l’équation de la sphère de centre A et de rayon r.
Si A est confondu avec l’origine O du repère, alors l’équation de la sphère de centre O et de rayon r s’écrit :
Si r est nul, alors la sphère S(A,0) se réduit à l’ensemble {A}.
Positions relatives d’une sphère et d’un plan
On mène de A la droite D orthogonale au plan P ; elle coupe ce dernier au point H. Par définition, AH est la distance de la sphère S(A,r) au plan P et on écrit :
On a les résultats évidents suivants :
Intersection d’un plan et d’une sphère
On suppose que P est sécant à S(A,r). Si la droite passant par A et orthogonale à P coupe ce dernier au point H, alors :
Soit (E) l’intersection de S(A,r) et de P. (E) est représenté par le système :
On demande de trouver la nature de (E). Soit M(x , y , z) un point quelconque de (E). (AHM) étant un triangle rectangle en H, on peut lui appliquer le théorème de Pythagore qui donnera AM :
Or A et P étant fixes, la droite passant par A et orthogonale à P et son intersection H avec P le sont également. Par conséquent, la quantité AH est constante. (E) est donc le cercle de centre H et de rayon égal à :
Connaissant r, u, v, w et d, on peut trouver ce rayon.
La méthode 1- On calcule la distance AH (distance d’un point à un plan). Elle est égale à :
2-
Exemples 1-
Démontre que P est sécant à S(A,4) et calcule le rayon du cercle – intersection. (L’unité de mesure des longueurs est le centimètre)
P est donc sécant à S(A,4). L’intersection est un cercle de centre H et de rayon r’ égal à :
2-
Démontre que Q est sécant à S(O,2) et calcule le rayon du cercle – intersection. (L’unité de mesure des longueurs est le centimètre)
Soit D la droite passant par O et orthogonale à Q ; elle coupe ce dernier au point F.
P est donc sécant à S(O,2). L’intersection est un cercle de centre F et de rayon r' égal à :
Equation du plan tangent à une sphère en un point de tangence donné
On demande de trouver l’équation du plan P tangent à S(A,r) au point de tangence R. Soit M(x , y , z) un point quelconque de cet espace.
Cette dernière équation est donc celle du plan P ; en la développant, on pourra la mettre sous la forme :
Exemple
On demande de trouver l’équation du plan P tangent à S(O,2) au point de tangence R. Soit M(x , y , z) un point quelconque de cet espace.
P est le plan parallèle au plan (xOy) du repère et passant par R.
6-2 Le cylindre de révolution Définition Soit une direction quelconque D de l’espace muni d’un repère orthonormal R.
On appelle surface cylindrique de révolution, celle engendrée, par la rotation autour de D, d’une droite d parallèle à D. d est appelée génératrice de cette surface et D, son axe de révolution. Soit S cette surface. Soient dans ce même espace, deux plans P et Q distincts, parallèles et orthogonaux à D. L’intersection de chacun de ces plans avec S est un cercle. Les deux cercles, ainsi définis, ont leurs centres appartenant à l’axe D et ont même rayon r. P et Q délimite ainsi une portion de S appelée cylindre de révolution, droit. D et d sont respectivement l’axe et la génératrice de ce cylindre. L’un quelconque des deux cercles définis précédemment est appelé directrice ou base de ce cylindre.
Equations du cylindre de révolution, droit
Soit S cette surface. L’intersection de S et du plan (xOy) est le cercle (C) de centre A et de rayon r. L’équation de (C) est donc :
Soient M(x , y , z) un point quelconque de S et m, sa projection orthogonale dans le plan (xOy). Par conséquent m appartient au cercle (C). On a donc :
Or, m appartenant à (C), on obtient :
Par conséquent, l’abscisse et l’ordonnée de M vérifient l’équation :
Le système d’équations représentant la surface S est donc :
Soit un plan P parallèle à (xOy) et d’équation :
Il coupera S selon un cercle (C’) de même rayon que (C) ; son centre appartient à l’axe D. La portion de S délimitée par le plan (xOy) et P est un cylindre de révolution, droit, d’axe D, de directrice (C) et de génératrice d. Le système d’équations représentant ce cylindre est l’un ou l’autre des deux systèmes suivants (selon que h est positif ou négatif) :
Généralisation La portion de S délimitée par deux plans distincts P et Q, parallèles au plan (xOy), d’équations respectives :
est un cylindre de révolution, droit. Le système le représentant est :
6-3 Le cône de révolution Définition Soit une direction quelconque D de l’espace muni d’un repère orthonormal R.
Soit d une droite quelconque sécante à D au point A. A est appelé sommet de cette surface conique de révolution. L’angle (D,d) est appelé angle de rotation de cette surface conique de révolution. d est appelée génératrice de cette surface et D, son axe de révolution.
Soit dans ce même espace, un plan P tel que : - A n’appartient pas à P - D est orthogonale à P Dans ces conditions, P est sécant à S et l’intersection est un cercle (C) dont le centre appartient La portion de S comprise entre le sommet A et le plan P est appelée cône de révolution, droit d’axe D, de génératrice d. (C) sera appelé directrice ou base de ce cône.
Equations du cône de révolution, droit
Soit S cette surface. Soient M(x , y , z) un point quelconque de S et P le plan passant par M et parallèle au plan (xOy). P rencontre D au point H, projeté orthogonal de M sur D. L’intersection de P et de S est donc un cercle inclus dans P, de centre H et de rayon HM. M appartenant à ce cercle, on obtient le système :
Or,
Le système s’écrit alors :
En posant tan α égale à a, on obtient finalement :
C’est le système d’équations représentant la surface conique de révolution, droite S.
Soit un plan Q parallèle à (xOy) et d’équation :
La portion de S délimitée par le sommet A et Q est un cône de révolution, droit, de sommet A, d’axe D, de directrice le cercle intersection de S et de P (C) et de génératrice d. Le système d’équations représentant ce cône est l’un ou l’autre des deux systèmes suivants
Généralisation La portion de S délimitée par deux plans distincts Q et R, parallèles au plan (xOy), d’équations respectives :
est représentée par le système d’équations :
6/18/2006 Géométrie vectorielle - Notion de barycentre - 1ère partieAuteur : Raymond RICHA
1- Rappel de quelques propriétés établies en géométrie dans l’espace Trois points non alignés quelconques de l’espace définissent un plan. (Figure 1)
Figure 1 : les trois points non alignés A, B et C définissent le plan (P). Chacun de ces trois points appartient au plan (P)
Dans l’espace, la donnée de trois points non alignés quelconques définit un plan.
Une droite quelconque de l’espace et un point quelconque de cet espace n’appartenant pas à cette droite définissent un plan. (Figure 2)
Figure 2 : La droite d et le point A ne lui appartenant pas définissent le plan (P) Il suffit de prendre deux points B et C distincts appartenant à d
Dans l’espace, la donnée d’une droite quelconque et d’un point quelconque n’appartenant pas à cette droite définit un plan.
Deux droites concourantes quelconques de l’espace définissent un plan qui les contient.
Figure 3 : d et d’ concourantes au point O définissent le plan (P) Il suffit de prendre un point A différent de O et quelconque
Deux droites de l’espace sont dites parallèles si elles appartiennent à un même plan et si leur intersection est vide.
Remarque importante Deux droites de l’espace peuvent avoir une intersection vide tout en n’étant pas parallèles.
Dans l’espace, une droite d non incluse dans un plan P est dite parallèle à P si son intersection avec P est vide.
Dans l’espace, une droite d est parallèle à un plan P si et seulement s’il existe au moins une droite d’ contenue dans P et parallèle à d. (Figure 4)
Figure 4
Démonstration Par hypothèse on a d parallèle à P. Conclusion : d et d’ incluses dans Q et non concourantes sont parallèles. Réciproque Par hypothèse, on a d’ incluse dans P et parallèle à d. Conclusion : d est parallèle à P
Dans l’espace, une droite d non contenue dans un plan P est parallèle à ce plan si et seulement s’il existe au moins un plan Q contenant d et rencontrant P selon une droite d’ parallèle à d. (Figure 5)
Figure 5 Démonstration Conclusion : d’ est parallèle à d. Réciproque Par hypothèse on a, d non contenue dans P, Q un plan contenant d et tel que son intersection avec P est une droite d’ parallèle à d. Conclusion : d est parallèle à P.
Deux plans de l’espace sont dits parallèles si leur intersection est vide.
Dans l’espace, on donne un plan P quelconque et une droite d parallèle à ce plan.
Deux plans de l’espace sont parallèles, si et seulement si, l’un, quelconque, de ces deux plans, contient deux droites concourantes telles que chacune d’elle est parallèle à l’autre plan.
Figure 6 : d et d’ sont deux droites incluses dans Q, concourantes, telles que chacune P et Q sont parallèles Démonstration Par hypothèse on a : P et Q deux plans parallèles ; d et d’ deux droites concourantes quelconques incluses dans Q. On démontre que d et d’ sont parallèles à P. Si d rencontrait P au point M, alors M serait commun à P et Q ; ce qui contredirait l’hypothèse qui énonce que P et Q sont parallèles. Par conséquent, d est parallèle à P. Si d’ rencontrait P au point M’, alors M’ serait commun à P et Q ; ce qui contredirait l’hypothèse qui énonce que P et Q sont parallèles. Par conséquent, d’ est parallèle à P. Conclusion : d et d’ sont parallèles à P. Réciproque Par hypothèse on a : d et d’ deux droites concourantes au point O, incluses dans Q, et telles que d est parallèle à P et d’ parallèle à P. On démontre que P est Q sont deux plans parallèles. Si P et Q ne sont pas parallèles, alors il existerait une droite D qui serait leur intersection. Q contenant la droite d parallèle à P, D serait alors parallèle à d. Q contenant la droite d’ parallèle à P, D serait alors parallèle à d’. Dans le plan Q, on aurait ainsi mené du point O deux droites distinctes d et d’, parallèles à D ; ce qui contredit l’axiome d’Euclide. Conclusion : P et Q sont parallèles.
Dans l’espace, un plan quelconque sécant à des plans parallèles rencontre ces derniers selon des droites parallèles. (Figure 7)
Figure 7 : P et Q deux plans parallèles R sécants à P et Q Par conséquent, d et d’ sont parallèles
Démonstration On a par hypothèse, deux plans P et Q parallèles et un plan R sécant à P et à Q, quelconque. Soient d’ l’intersection de R et de P et d’ celle de R et Q. On démontre que d et d’ sont parallèles. Si d et d’ étaient concourantes au point M, alors ce point serait commun à P et à Q ; ce qui contredirait l’hypothèse qui énonce que P et Q sont parallèles. Conclusion : d et d’ étant incluses dans R et non concourantes sont parallèles.
Construction de sections planes Soit, dans l’espace, un objet géométrique (F) quelconque. On appelle section plane de (F) par un plan qui lui est sécant l’intersection de (F) avec ce plan. Dans des problèmes de géométrie dans l’espace, souvent la construction des sections planes d’un objet permet de comprendre les propriétés géométriques de cet objet et assure une clarté à la figure.
Exemples de sections planes : La section plane d’une sphère par tout plan qui lui est sécant est un cercle ; de plus si ce plan passe par le centre de la sphère, alors la section plane est un grand cercle de cette sphère. La section plane d’un cube ou d'un parallélépipède rectangle par un plan contenant deux arêtes symétriques dans la symétrie centrale O, centre de ce cube ou de ce parallélépipède rectangle, est un rectangle. La section plane d'un parallélépipède quelconque (dit aussi oblique) par un plan contenant deux arêtes parallèles, est un parallélogramme. La section plane d'un tétraèdre quelconque par un plan parallèle à une quelconque des faces de ce tétraèdre est un triangle. De plus, le théorème de Thalès s'applique à cette face et ce triangle. La section plane d’un tétraèdre régulier par un plan parallèle à une quelconque des faces de ce tétraèdre est un triangle équilatéral. La section plane d’un cône de base circulaire (C) par un plan parallèle à cette base est un cercle. La section plane d’un cylindre par un plan parallèle à sa base est un cercle.
Pour construire une section plane d’un objet (F) par un plan P qui lui est sécant, il faut d’abord avoir une bonne vision dans l’espace. Il faut repérer des droites coplanaires contenues dans le plan P. Si ces deux droites sont concourantes, alors leur point d’intersection est un point supplémentaire appartenant P, et cette conclusion facilite, par la suite, la construction de la section plane à construire.
Exemple : Sur la figure 8 ci-dessous, (ABCDEFGH) est un cube. M est un point de [BF], N, un point de [AE] et P, un point de [CD]. On demande de construire la section plane de ce cube par le plan (MNP).
Figure 8
M et N appartenant à (MNP), [MN] est inclus dans (MNP). [MN], étant simultanément inclus dans la face (ABFE) et dans (MNP), est alors l’intersection de cette face et de (MNP). (MN) coupe (BA) au point I. I appartenant à (MN) appartient alors à (MNP). I et P appartenant à (MNP), (IP) est alors incluse dans ce plan et Q, intersection de (IP) et de [AD], appartient à (MNP). Q et N appartenant à (MNP), [QN] est inclus dans ce plan. [QN], étant simultanément inclus dans la face (ADHE) et dans (MNP), est alors l’intersection de cette face et de (MNP). [PQ], étant simultanément inclus dans la face (ABCD) et dans (MNP), est alors l’intersection de cette face et de (MNP). (IP) rencontre (BC) au point S. S appartenant à (IP) appartient alors à (MNP). S et M appartenant à (MNP), (SM) est alors incluse dans ce plan et R, intersection de (SM) et [CG], appartient à (MNP). R et M appartenant à (MNP), [RM] est inclus dans ce plan. [RM], étant simultanément inclus dans la face (BCGF) et dans (MNP), est alors l’intersection de cette face et de (MNP). [PR], étant simultanément inclus dans la face (CDHG) et dans (MNP), est alors l’intersection de cette face et de (MNP). La section du cube (ABCDEFGH) et du plan (MNP) est alors le pentagone (MNQPR).
2- Espace des vecteurs
2-1 Définitions Un vecteur de l’espace est défini par : - la droite qui le porte appelée son support ou sa direction - ses deux extrémités qui définissent sur ce support un segment dont la longueur est appelée module ou longueur géométrique de ce vecteur - son sens d’orientation, de son origine vers son extrémité (cette origine et cette extrémité étant les extrémités du segment ayant défini le module)
(Figure 9)
Figure 9
On écrit :
On lit respectivement : « vecteur U ; vecteur V ; vecteur w et vecteur MN ».
Deux vecteurs sont dits égaux (ou encore équipollents) s’ils ont même direction ou support (ou des directions parallèles), même module et même sens. (Figure 10)
Figure 10 :
On note E l’espace des vecteurs. On définit dans cet espace une addition, nommée addition vectorielle, ayant les propriétés suivantes :
On définit également dans E une multiplication d’un nombre réel par un vecteur de la manière suivante :
2-2 Relation de Chasles Soient A, B et C trois points quelconques de l’espace. On a :
Ce sont les deux écritures de ce qu’on appelle relation de Chasles. On en déduit immédiatement que :
Généralisation de la relation de Chasles
2-3 Construction géométrique d’une somme et d’une différence de deux vecteurs donnés
(Figure 11)
Figure 11
(Figure 12)
Figure 12
2-4 Construction géométrique d’une somme de plusieurs vecteurs donnés
Figure 13
3- Vecteurs colinéaires Définition
Figure 14
D’où la deuxième définition de la colinéarité de deux vecteurs non nuls de l’espace : deux vecteurs non nuls de l’espace sont dits colinéaires si leurs directions sont parallèles ou confondues.
Figure 15
A titre d’exercice, je te laisse démontrer ce théorème. La démonstration comporte deux parties : on démontre la condition nécessaire et celle suffisante.
4- Combinaison linéaire de deux vecteurs - Vecteurs coplanaires
La coplanarité de ces trois vecteurs se caractérise par la propriété suivante :
Figure 16
A titre d’exercice, je te laisse démontrer ce théorème. La démonstration comporte deux parties : on démontre la condition nécessaire et celle suffisante.
5- Caractérisation d’une droite et d’un plan de l’espace
5-1 Caractérisation d’une droite
Figure 17
Il est facile d’établir les théorèmes suivants :
Figure 18
5-2 Caractérisation d’un plan
Figure 19
Il est facile d'établir le théorème suivant :
Figure 20
6- Caractérisation de droites et plans parallèles
Théorème
Démonstration
Figure 21
d étant parallèle à P, soit un plan Q quelconque contenant d et sécant à P ; soit d’ l’intersection de Q et P. Q contenant d parallèle à P, d’est donc parallèle à d.
Théorème
(Figure 22)
Figure 22
Démonstration Au début de ce chapitre, on a établit que deux plans sont parallèles si et seulement si l’un d’eux contient deux droites concourantes telles que chacune d’elles est parallèle à l’autre plan. On a également établit que si deux plans sont parallèles, tout plan qui leur est sécant, les coupera selon deux droites parallèles.
Réciproque Par hypothèse, on a :
On démontre alors que P et P’ sont parallèles.
Le plan P, contenant deux droites concourantes d et d’, chacune d’elles étant parallèles au plan P’, est donc parallèle au plan P’. Géométrie vectorielle - Notion de barycentre - 2ème partieAuteur : Raymond RICHA
7- Barycentre d’un système de points de l’espace 7-1 Introduction : signification de la notion de barycentre d’un système fini de points de l’espace Le barycentre d’un système fini de points de l’espace, affectés de coefficients réels, est le modèle mathématique du barycentre d’un système fini de points matériels, affectés de masses. 7-2 Définitions
Le point G est appelé barycentre du système de ces n points.
Remarque importante Le barycentre n’existe que si la somme des coefficients réels est différente de zéro. Cas particulier
Démonstration Existence du barycentre Soit O un point quelconque de l’espace. En appliquant la relation de Chasles, l’égalité vectorielle peut s’écrire :
ou
Unicité du barycentre Supposons que le système admette un second barycentre G’ ; on a donc :
La relation de Chasles permet d’écrire :
Une deuxième définition du barycentre d’un système fini de points pondérés
Si l’on fait confondre O avec G, cette dernière égalité vectorielle donne à nouveau :
7-3 Propriétés 1ère propriété
Le barycentre est inchangé (on dit aussi invariant) lorsque l’on multiplie les coefficients par un réel non nul. 2ème propriété
Si l’on peut extraire de ce système un sous système défini comme suit :
alors ce sous système admet un barycentre g.
C’est ce qu’on appelle l’associativité du barycentre. A titre d’exercice, démontre cette propriété pour le système :
sachant que l’on a :
Exercices 1) On donne un tétraèdre (ABCD). On désigne par M, N, P, Q, R et S, les milieux respectifs des arêtes [AB], [AC], [AD], [BC], [CD] et [BD].
a- Montre que le quadrilatère (MNRS) est un parallélogramme. b- En déduire que les droites (MR), (NS) et (PQ) sont concourantes.
Solution a- Dans le plan (ABC), M et N étant respectivement milieux des côtés [AB] et [AC] du triangle (ABC), on a :
Dans le plan (BCD), R et S étant respectivement milieux des côtés [CD] et [BD] du triangle (BCD), on a :
Par conséquent,
b- (MNRS) étant un parallélogramme, ses diagonales [MR] et [NS] concourent en leur milieu O. Dans le plan (ABC), M et Q étant respectivement milieux des côtés [AB] et [BC] du triangle (ABC), on a :
Dans le plan (ACD), P et R étant respectivement milieux des côtés [AD] et [DC] du triangle (ACD), on a :
Par conséquent,
(MPRQ) étant un parallélogramme, ses diagonales [MR] et [PQ] concourent en leur milieu. Or, le milieu de [MR], diagonale du parallélogramme (MNRS), est O. Par conséquent, O appartient à [PQ] et les droites (MR), (NS) et (PQ) concourent au point O.
2) On donne un parallélépipède oblique (ABCDA’B’C’D’) ; On a :
Soient M, N, O, P, Q et R les centres des faces respectives (ABCD), (A’B’C’D’), (ADD’A’), (BCC’B’), (ABB’A’) et (DCC’D’). 1° Montre que le quadrilatère (MONP) est un parallélogramme. 2° En déduire que les droites (MN), (OP) et (QR) sont concourantes.
Solution
1° Dans le plan (A’DB), O et M étant milieux respectifs des côtés [A’D] et [DB] du triangle (A’DB), on a :
Dans le plan (B’D’C), N et P étant milieux respectifs des côtés [B’D’] et [B’C] du triangle (B’D’C), on a :
On en déduit :
2° (MONP) étant un parallélogramme, ses diagonales [MN] et [OP] concourent en leur milieu. Dans le plan (A’DB), Q et M étant milieux respectifs des côtés [A’B] et [DB] du triangle (A’DB), on a :
Dans le plan (B’D’C), N et R étant milieux respectifs des côtés [D’B’] et [D’C] du triangle (B’D’C), on a :
Par conséquent,
Par conséquent, les droites (MN), (OP) et (QR) sont concourantes.
3) On donne un tétraèdre (ABCD). On définit les points E et F par les égalités vectorielles :
Démontre que les plans (BCD) et (AEF) sont parallèles.
Solution
Construction des points E et F
On a donc :
On a donc :
On démontre ensuite que les plans (BCD) et (AEF) sont parallèles.
La relation de Chasles appliquée à l’égalité vectorielle :
donne :
La relation de Chasles appliquée à l’égalité vectorielle :
donne :
Ces deux dernières équations étant incompatibles, il n’existe donc pas un réel k tel que :
4) On donne un tétraèdre (ABCD). On donne également les points E et F définis comme suit :
Démontre que les plans (BCD) et (AEF) sont parallèles.
(Tu démontreras que les points A, E et F ne sont pas alignés)
Solution
Construction des points E et F
On a donc :
On a donc :
La relation de Chasles appliquée à l’égalité vectorielle :
donne :
La relation de Chasles appliquée à l’égalité vectorielle :
donne :
Ces deux dernières équations étant incompatibles, il n’existe donc pas un réel k tel que :
Le plan (AEF) est donc défini.
5) On donne un tétraèdre (ABCD). Soit E l’image de B dans la symétrie centrale de centre C. Soit F l’image de B dans la symétrie centrale de centre D. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CD]. Démontre que la droite (IJ) est parallèle au plan (AEF). Solution
La relation de Chasles permet d’écrire :
L’égalité vectorielle s’écrit alors :
Comme J est le milieu de [CD], on a :
Par ailleurs, C et D étant les milieux respectifs de [EB] et [BF], on a :
D’où
Par conséquent, on a :
6) On donne un tétraèdre (ABCD). a- Construis les points E, E’, F et F’ définis par les relations vectorielles suivantes :
b- Démontre que les droites (BD) et (E’F’) sont parallèles en prouvant la colinéarité des vecteurs :
Je te laisse résoudre cet exercice.
7) Soit un tétraèdre (ABCD). a- Construis les points I, E, F et G définis comme suit :
b- Démontre que les points I, E, F et G sont coplanaires. c- Soit H le milieu de [BI]. Démontre que les plans (IEF) et (HCD) sont parallèles.
Solution a-
Je te laisse faire la construction des points I, E, F et G.
b-
La relation de Chasles permet d’écrire :
I étant milieu de [AB], on a :
D’où
On en tire :
D’où
I étant milieu de [AB], on a :
On en déduit :
D’où
c-
La relation de Chasles permet d’écrire :
Par ailleurs, à l’aide de la relation de Chasles, on a :
On en tire :
D’où
Par conséquent, on obtient :
Cette dernière égalité vectorielle peut donc s’écrire :
Or, plus haut on a démontré que :
D’où
Cette dernière égalité vectorielle peut donc s’écrire :
8) Construction du barycentre d’un système de points La méthode générale Pour construire le barycentre d’un système de points pondérés de l’espace, on doit : a- écrire la relation vectorielle définissant le barycentre considéré ; b- transformer cette relation vectorielle afin d’obtenir un vecteur dont une des extrémités est le barycentre, en fonction de vecteurs fixes connus ; c- construire le barycentre en utilisant la relation vectorielle transformée à l’étape b.
8-1
8-2 A, B et C sont les sommets d’un triangle.
8-3 On donne un quadrilatère (ABCD).
Solution 8-1 On vérifie d’abord si la somme des coefficients est différente de zéro, sinon le barycentre n’existe pas. On a :
Donc, le barycentre G à construire existe. La relation vectorielle définissant G est :
On transforme cette relation à l’aide de la relation de Chasles ; on obtient :
Cette dernière égalité vectorielle implique que G appartient à la droite (AB) et que l’on a :
Avec ces conclusions, il devient facile de construire G.
On vérifie d’abord si la somme des coefficients est différente de zéro. On a :
Donc, le barycentre G à construire existe. La relation vectorielle définissant G est :
On transforme cette relation à l’aide de la relation de Chasles ; on obtient :
D’après la relation de Chasles, on a :
Finalement, on obtient :
On obtient la figure suivante :
8-3 Je te laisse résoudre cette partie. Tu dois trouver comme résultat, la relation vectorielle :
9) Comment reconnaître un barycentre ? La méthode générale On doit, au départ, avoir une relation vectorielle entre tous les points donnés. A l’aide des outils du calcul vectoriel, on transforme cette relation vectorielle afin qu’elle prenne la forme de celle ayant servie à la définition du barycentre. Ayant obtenu cette forme, on s’assure que la somme de ses coefficients réels est différente de zéro.
9-1
9-2
9-3 On donne quatre points A, B, C et D. Soit le point M tel que :
Démontre que M est le barycentre des quatre points donnés affectés de coefficients à déterminer.
Solution 9-1 1° On transforme la relation vectorielle donnée pour la mettre sous la forme de celle ayant servi à définir le barycentre ; on a :
2° Je te laisse faire cette partie ; tu dois trouver comme résultat :
9-2 Je te laisse faire cette partie ; tu dois trouver comme résultat : 1°
2°
9-3 On transforme la relation vectorielle donnée pour la mettre sous la forme de celle ayant servi à définir le barycentre, ceci en utilisant la relation de Chasles, dans le second membre de la relation donnée ; on a :
10) On donne dans l’espace un tétraèdre (ABCD). Soient I et J les milieux respectifs des arêtes [AC] et [BD]. Soit G le barycentre des points pondérés (A,1), (B,2), (C,1) et (D,2). 1° Soient M le barycentre de (A,1) et (B,2) et N celui de (C,1) et (D,2). Démontre que G est milieu de [MN] et construis G. 2° Démontre que les points I, J et G sont alignés et précise la position de G à l’aide d’une relation vectorielle. Solution
1° G étant le barycentre des points pondérés (A,1), (B,2), (C,1) et (D,2), on a :
M étant le barycentre de (A,1) et (B,2) et N celui de (C,1) et (D,2), on a :
La propriété d’associativité du barycentre permet de grouper les points (A,1) et (B,2) en les remplaçant par leur barycentre M affecté du coefficient :
La même propriété permet de grouper les points (C,1) et (D,2) en les remplaçant par leur barycentre N affecté du coefficient :
La relation vectorielle ayant permis de définir G devient alors :
Les relations suivantes permettent de construire M et N :
On a :
Après avoir positionné M et N, on construit le point G, milieu de [MN]. On obtient la figure suivante :
2° On utilise l’associativité du barycentre, en groupant, d’une part les points pondérés (A , 1) et Le barycentre des points pondérés (A , 1) et (C , 1) est le milieu I de [AC] ; celui des points pondérés (B , 2) et (D , 2) est le milieu J de [BD]. Le point G est donc le barycentre des points pondérés (I , 1 + 1) ou (I , 2) et (J , 2 + 2) ou (J , 4) ; on obtient donc la relation vectorielle :
G appartient donc à [IJ] et se situe aux deux tiers de IJ comptés à partir de I.
11) Soit (SABC) un tétraèdre de l’espace.
1° a)
b) Démontre que G est le milieu de [BM].
2° Soient N et P les points tels que (SANB) et (SBPC) sont des parallélogrammes.
3° Soit K le centre de gravité du triangle (ABC). Démontre que les points S, K et G sont alignés.
Solution 1° a)
b)
Par conséquent G est milieu de [BM].
2° (SANB) étant un parallélogramme, on a :
Par conséquent G est milieu de [CN].
(SBPC) étant un parallélogramme, on a :
Par conséquent G est milieu de [AP].
3°
K étant le centre de gravité du triangle (ABC), on a :
Je te laisse résoudre l'exercice qui suit. 12) Dans le plan, on donne le triangle (ABC). Soit M le milieu de [AC] et soient les points N et P définis comme suit :
1° Ecris M comme barycentre de A et C, puis N comme barycentre de A et B et enfin P comme barycentre de B et C. 2° Démontre que les droites (MB), (NC) et (PA) sont concourantes. 5/30/2006 Pyramide et côneAuteur : Raymond RICHA
Convention
d’un solide représenté dans l’espace à trois dimensions sera représenté par une ligne discontinue
1- Les pyramides
1-1 Définitions et propriétés Dans un plan de l’espace, on considère un polygone quelconque (P).
On joint S à chacun des sommets de (P).
Le solide de cet espace, délimité par S et (P), est appelé pyramide.
S sera appelé sommet de cette pyramide et (P) sera appelé sa base.
Un segment qui joint S à un sommet quelconque de (P) sera appelé arête latérale de la pyramide.
Tout triangle formé par deux arêtes latérales adjacentes et le côté de (P) intercepté par ces deux arêtes latérales sera appelé face latérale de la pyramide.
La droite orthogonale au plan de (P), abaissée du sommet S, rencontre ce plan au point H ; le segment [SH] sera appelé hauteur de la pyramide.
Figure 1 : pyramide [S,(ABCD)]
Dans cette figure, le solide noté [S,(ABCD)] est une pyramide dont la base est le quadrilatère (ABCD). Son sommet est S. Les segments [SA], [SB], [SC] et [SD] sont ses arêtes latérales. Les triangles (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) sont ces faces latérales. La droite orthogonale au plan contenant (ABCD) abaissée du sommet S rencontre ce plan au point H ; [SH] est la hauteur de cette pyramide.
Propriété Dans une pyramide, toutes les faces latérales sont des triangles.
On dira que [S,(P)] est une pyramide régulière si et seulement si sa base (P) est un polygone régulier et le support de sa hauteur passe par le centre de ce polygone régulier.
Dans une pyramide régulière, toutes les arêtes latérales ont même longueur.
Deux cas particuliers 1er cas : base triangulaire Lorsque la base d’une pyramide est un triangle, cette pyramide sera appelée tétraèdre. (Figure 2)
Figure 2 : [S,(ABC)] est un tétraèdre
2ème cas : tétraèdre dont la base et les trois faces latérales sont toutes des triangles équilatéraux de même longueur de côtés
Figure 3 : [S,(ABC)] est un tétraèdre régulier
Lorsque la base et les trois faces latérales d’un tétraèdre sont toutes des triangles équilatéraux de même longueur de côtés, alors ce tétraèdre est
1-2 Aire latérale d’une pyramide L’aire latérale d’une pyramide est la somme des aires de ses faces latérales.
Cas particulier du tétraèdre régulier
On donne un tétraèdre régulier [S,(ABC)] dont la longueur commune des arêtes latérales est a. On a également :
[SH] étant sa hauteur, la droite (SH) passe par le centre H du cercle circonscrit à la base (ABC) qui est un triangle équilatéral; donc on a :
Soit F l’intersection de (AH) et de [BC] ; [AF] est la médiatrice de [BC] et F est milieu de [BC]. Dans la face latérale (SBC), [SF] est donc la médiane relative au côté [BC] du triangle équilatéral (SBC). Or, on sait que dans un triangle équilatéral, une médiane relative à un des ses côtés est simultanément médiatrice de ce côté ; par conséquent, dans (SBC), [SF] est médiatrice de [BC] et le triangle (SFC) est un triangle demi- équilatéral, rectangle en F. Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle donne :
Or,
Donc,
Par conséquent, on obtient :
En posant A l’aire de la face latérale (SBC), on obtient :
Comme dans un tétraèdre régulier, les trois faces latérales sont des triangles équilatéraux de même longueur de côtés, l’aire latérale de ce tétraèdre est donc :
1-3 Volume d’une pyramide Soit dans l’espace une pyramide quelconque [S,(P)] de sommet S et de base polygonale (P). Si B est l’aire de la base (P) et si h est la longueur de la hauteur de cette pyramide, alors le volume V de cette dernière est égal à :
On sait que le pied H de la hauteur de cette pyramide est le centre du cercle circonscrit à la base qui est un triangle équilatéral (ABC). H est également centre du cercle inscrit à ce triangle équilatéral ; donc [CH) est bissectrice de l’angle au sommet C. De plus, (AF) ou (HF) étant médiatrice de [BC] ; (HF) est perpendiculaire à (BC) ou (FC). Par conséquent, dans le triangle (CHF), rectangle en F, on a :
Le triangle (CHF) est donc un triangle demi-équilatéral. On sait que dans un triangle demi-équilatéral dont l’hypoténuse a pour longueur L, la longueur du côté opposé à l’angle de mesure 60° est égale à :
Par conséquent, dans (CHF), on obtient :
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle (SHF) donne :
On a démontré plus haut que :
Par conséquent, on obtient :
On sait que la base et toutes les faces latérales d’un tétraèdre régulier sont des triangles équilatéraux de même longueur de côtés. Donc, ils ont tous même aire et celle–ci a été calculée plus haut et est égale à :
Donc la base de ce tétraèdre a pour aire :
Le volume est donc :
2- Les cônes
2-1 Définitions et propriétés On donne dans un plan un cercle C(O,r) de centre O et de rayon r. D’un point S n’appartenant pas au plan de ce cercle, on mène une droite d rencontrant C(O,r) au point G. Lorsque G parcourt complètement le cercle C(O,r), la demi-droite [SG) génère dans l’espace une surface (s).
Le solide délimité par (s) et C(O,r) est appelé cône et est noté : [S , C(O,r)].
S est appelé sommet de ce cône.
Le cercle C(O,r) est appelé directrice de ce cône et le segment [SG] est sa génératrice.
L’aire de la surface (s) est appelée aire latérale de ce cône. La droite (SH) passant par S et orthogonale au plan de C(O,r) coupe ce plan au point H.
Un cas particulier Lorsque la hauteur d’un cône passe par le centre de sa base circulaire, ce cône sera alors appelé cône de révolution.
2-2 Aire latérale d’un cône de révolution
Soit un cône de révolution quelconque [S , C(O,r)]. Si on découpe sa surface latérale selon une génératrice [SG] et on développe cette surface, on obtient le schéma suivant :
Ce schéma représente la base circulaire de ce cône, de centre O et de rayon r, ainsi que le développement de sa surface latérale.
On obtient ainsi le patron de ce cône.
Ce patron permet de calculer l’aire latérale de ce cône.
Soit A cette aire.
2-3 Volume d’un cône
Exercices
1) On donne un cube (ABCDEFGH) de centre S. Trace ses diagonales. Quelle sont toutes les pyramides régulières de sommet S et de base carrée ? Solution
Dans un cube, une diagonale est un segment passant par le centre de ce cube et joignant deux sommets opposés. Ainsi, le cube (ABCDEFGH) possède quatre diagonales qui sont : [AG], [DF], [BH] et [EC]. On obtient six pyramides régulières de sommet S et de base carrée : [S , (ABFE)], [S , (DCGH)], [S , (BFGC)], [S , (ADHE)], [S , (EFGH)] et [S , (ABCD)]
2) La pyramide [A , (DCGH)] est inscrite dans le cube (ABCDEFGH). On te demande de calculer le volume de cette pyramide, sachant que la longueur commune des côtés du cube est a. Solution
On sait que dans un cube, le support de chaque arête latérale est orthogonale à une base. Par conséquent, dans la pyramide [A , (DCGH)], la droite (AD), support de l’arête latérale [AD], est orthogonale à la base carrée (DCGH) de cette pyramide. [AD] est donc la hauteur de cette pyramide.
Si V est le volume de cette pyramide, alors :
Le volume de cette pyramide est le tiers de celui du cube.
3) On donne un cylindre dont la base circulaire a pour centre O’ et pour rayon r. La hauteur [OO’] de ce cylindre a pour longueur OO’ égale à h. On inscrit dans ce cylindre une pyramide de sommet O et de base carrée (ABCD) inscrite dans la base circulaire de ce cylindre. a- Démontre que cette pyramide est régulière. b- On te demande de calculer, en fonction de h et de r, le volume de cette pyramide. c- On retire la pyramide de ce cylindre ; Quel est alors le volume restant ? Solution
a- (OO’) est le support de la hauteur [OO’] commune à ce cylindre et à la pyramide; de plus elle passe par le centre O’ du carré (ABCD). Par conséquent, la pyramide [O , (ABCD)] est régulière.
b- Calcul de l’aire de la base carrée (ABCD) de la pyramide On sait que dans un carré les diagonales se coupent en leur milieu et à angle droit. Par conséquent, dans (ABCD), le triangle (O’BC) est un triangle rectangle en O’ et isocèle. Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle donne :
L’aire de (ABCD) est donc :
Calcul du volume de la pyramide Si V est ce volume, alors :
Si V’ est le volume restant, alors :
Finalement, on obtient :
4) On souhaite réaliser une pièce d’avion en extrayant, d’un matériau dont la forme est un cône de révolution, une pyramide, selon le schéma suivant :
Le cône de révolution [S , C(O,r)] a pour sommet S et pour base le cercle (C) de centre O et de rayon r. La pyramide [S , (ABCDEF)] a pour sommet S et pour base un hexagone régulier (ABCDEF) inscrit dans (C). La hauteur commune de ce cône et de cette pyramide a pour longueur h. On demande de calculer le volume de la pièce obtenue. Solution
Calcul de VC
Calcul de VP
Dans le triangle équilatéral (OAB), on abaisse la hauteur [OH] relative au côté [AB]. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle (OHB) donne :
Donc,
On obtient :
L’hexagone régulier (ABCDEF) étant composé de six triangles équilatéraux tels que (OAB), a son aire égale à six fois celle de (OAB). On a donc :
Par conséquent,
Le volume de la pièce est :
5) On donne le patron d’un cône de révolution suivant :
On demande de calculer la longueur g de la génératrice de ce cône de révolution. Solution Le périmètre de la base de ce cône est :
6) On donne la figure suivante :
(ABCDEFGH) est un cube dont la longueur commune de ses côtés est a. Le cercle (C) de centre O est inscrit dans la base carrée (CDHG). On demande de calculer le rapport du volume du cône [A , (C)] de sommet A et de base (C) à celui du cube. Solution Soient V le volume du cube et V’ celui du cône. On a :
Calcul de V’
Par conséquent,
Le rapport de V’ à V est donc :
Les anglesAuteur : Raymond RICHA
Angles d’un triangle
On a appris dans les classes antérieures qu’un triangle se compose de trois sommets et de trois côtés qui, pris deux à deux, forment un angle dont le sommet est l’un des sommets du triangle. Par conséquent, un triangle possède trois angles de ce type appelés angles intérieurs.
Propriété :
Dans un triangle, tout angle adjacent et supplémentaire à un angle intérieur est appelé angle extérieur. Soit un triangle (ABC) quelconque pour lequel on a prolongé ses trois côtés [AB], [BC] et [AC] de manière que (AB) soit égale à (x’x), (BC) soit égale (y’y) et (AC) soit égale à (z’z).
Ses angles intérieurs sont :
La somme de leurs mesures est :
Propriété : Dans un triangle, la mesure d’un quelconque de ses angles extérieurs est égale à la somme des mesures des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. Démonstration La démonstration est établie pour un des angles extérieurs en A. Elle est la même pour les autres.
Or, on sait que :
Donc,
Deux quantités égales à une même troisième sont égales et finalement on obtient :
Position relative d’un angle par rapport à un cercle
On donne un cercle quelconque de centre O et de rayon r, noté C(O , r).
On appelle angle au centre tout angle dont le sommet est confondu avec le centre O.
Tout angle au centre intercepte un arc du cercle.
Etant donné un arc quelconque du cercle, on appelle mesure de cet arc, la mesure de l’angle au centre qui l’intercepte.
Il ne faut pas confondre la longueur d’un arc et sa mesure ; ce sont deux notions différentes. Par exemple, on dira que la longueur d’un arc est de 5cm, alors que sa mesure est de 30°.
Ainsi, à l’angle au centre mesurant 360° correspond le cercle tout entier dont la longueur est son périmètre. On a donc la correspondance :
C’est cette correspondance qu’on utilise pour calculer la longueur (resp. la mesure) d’un arc donné sur un cercle, connaissant la mesure (resp. la longueur) de cet arc.
Exemple :
D’où la propriété qui en découle : Sur un même cercle, deux arcs au centre de même mesure ont même longueur et réciproquement.
Cette propriété n’est plus vraie pour deux arcs, l’un appartenant à un cercle et l’autre à un cercle qui est concentrique au premier, interceptés par un même angle au centre. En effet ces deux arcs ont même mesure, cependant leurs longueurs sont différentes puisqu’elles sont fonctions des rayons différents de ces deux cercles concentriques. A titre d’exercice, je te demande de construire une figure illustrant cette remarque.
On donne un cercle quelconque de centre O et de rayon r, noté C(O , r).
On appelle angle inscrit tout angle dont le sommet appartient à ce cercle.
Propriété :
qu’il intercepte. Démonstration 1er cas : diamètre du cercle
On joint O à B. OM et OB sont égales au rayon du cercle ; donc le triangle (MOB) est isocèle.
2ème cas :
On joint M à O. La droite (MO) rencontre le cercle en un deuxième point N.
3ème cas : A titre d’exercice, je te laisse démontrer la propriété pour ce troisième cas. différence qu’il faudra retrancher des quantités au lieu de les additionner.
Cas particulier : un des côtés de l’angle inscrit est tangent au cercle
On appelle angle intérieur tout angle dont le sommet est à l’intérieur du cercle.
Propriété :
mesures des deux arcs, l’un intercepté par cet angle et l’autre intercepté par l’angle intérieur qui lui est opposé au sommet.
Démonstration
On joint M à P et N à P.
Tout angle dont le sommet est à l’extérieur du cercle et dont chacun des côtés est sécant ou tangent au cercle est appelé angle extérieur.
Propriété :
mesures des deux arcs interceptés par ses côtés. Démonstration 1er cas : les deux côtés de l’angle extérieur sont sécants au cercle
On joint A’ à B.
Par conséquent,
Finalement , on obtient :
2ème cas : l’un des côtés est tangent au cercle et l’autre, lui est sécant
On joint A’ à B.
Par conséquent,
Finalement , on obtient :
3ème cas : les deux côtés sont tangents au cercle
On joint A à B.
Par conséquent,
Finalement , on obtient :
Exercices
1) On donne la figure suivante :
Calcule les mesures des angles suivants :
Solution
On obtient finalement :
On obtient finalement :
2) On donne la figure suivante :
(xy) rencontre le cercle aux points A et B ; (x’y’) le rencontre aux points A’ et B’. (xy) et (x’y’) se coupent au point S.
Solution
Par conséquent, on obtient :
3) On donne dans un plan deux points distincts et fixes A et B. Trouve l’ensemble des points M tels que :
Solution
Soit la position d’un point M quelconque appartenant à l’ensemble à trouver. Soit (C) le cercle circonscrit au triangle (AMB). Soit O le centre de ce cercle. O appartient à la médiatrice d du segment [AB]. Or, A et B étant fixes, d l’est également.
Menons de B la demi-droite [Bx), tangente à (C) au point de tangence B. [Bx) étant une tangente à (C) au point B et [OB] étant un rayon de ce cercle dont l’extrémité est B, [Bx) est donc perpendiculaire à (OB). O appartient donc à la droite D perpendiculaire à [Bx) au point B.
Par conséquent, on a :
A et B étant fixes et la mesure d’angle de 50° étant une constante, la demi- droite [Bx) est donc fixe. D étant perpendiculaire à cette demi-droite fixe au point B est également fixe. O appartenant simultanément à deux droites fixes d et D est fixe. Par conséquent, le cercle (C) circonscrit au triangle (AMB), ayant son centre O fixe et son rayon OA ou OB constant (puisque O et A sont fixes), est fixe.
Par définition, cet arc (en rouge sur la figure) est appelé arc capable.
Remarque : L’énoncé de cet exercice aurait pu être le suivant : On donne dans un plan deux points distincts et fixes A et B. Un point M de ce plan se déplace tel que :
Trouve le lieu géométrique de M. La solution reste la même.
4) On donne la figure suivante :
Solution
Par ailleurs, on a :
Finalement, on obtient :
5) On donne un cercle C(O , r). Par un point S situé à l’extérieur de ce cercle, on mène les deux tangentes (Sx) et (Sy) à ce même cercle. Le point de tangence relatif à (Sx) est A et celui relatif à (Sy) est B.
Démontre que le triangle (SAB) est équilatéral. Solution
Par ailleurs, on sait que sur les deux tangentes à un cercle issues d’un même point, les segments délimités par ce point et les deux points de tangence ont même longueur. Par conséquent, on a :
Le triangle (SAB) ayant un angle de mesure 60° et deux côtés de même longueur, est équilatéral.
6) On donne deux cercles sécants C(O, r) et C’(O’ , r). Chacun de ces cercles passe par le centre de l’autre. Les intersections de C(O, r) et C’(O’ , r) sont les points A et B.
Solution
O’ appartenant à (C), on a :
O appartenant à (C’), on a :
Ainsi,
La symétrie axiale d’axe (OO’) permet d’en déduire que le triangle (OO’B) est également équilatéral. Par conséquent, on a :
7) a- Dans un plan, on donne un quadrilatère (ABCD) inscrit dans un cercle C(O , r). Démontre que les angles intérieurs de ce quadrilatère sont deux à deux opposés et supplémentaires. b- On donne dans un plan un quadrilatère convexe (ABCD) tel que deux de ses angles intérieurs et opposés sont supplémentaires. Démontre que (ABCD) est inscrit dans un cercle, autrement dit, que ses quatre sommets sont situés sur un même cercle. On dira alors que les points A, B, C et D sont cocycliques. c- Déduis des conclusions des questions a et b une condition nécessaire et suffisante pour qu’un quadrilatère convexe soit inscriptible dans un cercle.
Je te laisse résoudre cet exercice.
a- Pour cette question, il suffit d’effectuer la somme des mesures de deux angles intérieurs et opposés de ce quadrilatère, sachant que ces angles sont des angles inscrits. b- Pour cette question, on considère le cercle passant par trois quelconques des quatre sommets du quadrilatère, par exemple A, B et C et on démontre que le quatrième sommet, D, appartient à ce cercle. Pour cela, il suffit de raisonner par l’absurde : ce quatrième sommet D peut prendre trois positions par rapport au cercle passant par les trois autres sommets. quadrilatère, en D, a alors pour mesure la demi - somme ou la demi - différence des mesures de deux arcs et ceci aboutit à une contradiction avec l’hypothèse de supplémentarité de deux angles c- Pour qu’un quadrilatère convexe soit inscriptible dans un cercle, il faut et il suffit que deux angles intérieurs opposés de ce quadrilatère soient supplémentaires.
5/20/2006 Transformations ponctuelles - 1ère PartieAuteur ; raymond RICHA
1- Définition générale d’une transformation ponctuelle
Dans un plan (P) quelconque, une transformation ponctuelle T est une application dans (P). T applique à tout point M appartenant à (P) un point et un seul M’ appartenant à (P). M’ sera appelé image de M par la transformation ponctuelle T. On écrit :
On dit aussi que le point M est l’antécédent du point M’ par T.
Si un point M du plan (P) coïncide avec son image, alors on dira que M est un point invariant pour la transformation ponctuelle T. On a donc :
Une transformation ponctuelle dans (P), notée Id, est dite transformation identique si et seulement si elle rend invariant tout point de (P). Dans ce cas, on a :
2- Composition de deux ou plusieurs transformations ponctuelles Soient dans un plan (P) deux transformation ponctuelles quelconques T et T’. On appelle composée de T suivie de T’, la transformation ponctuelle, C, dans (P) définie comme suit :
Cette écriture est donc logiquement équivalente à :
C peut également s’écrire :
Remarque importante : cette dernière écriture se lit On peut donc lire, comme en langue arabe, de droite à gauche, T suivie de T’.
Il est évident que la composition des transformations n’est pas commutative ; c’est-à-dire qu’en général, il existe au moins T et T’ telles que :
alors on dira que T’ est la transformation ponctuelle symétrique de T par la composition des transformations ponctuelles.
Une transformation T dans un plan (P) est dite involution ou encore involutive si et seulement si elle est identique à sa symétrique par la composition des transformations ponctuelle ; dans ce cas on a :
Dans un plan (P), la composition des transformations ponctuelles est associative ; c’est-à-dire :
3- Image d’un ensemble de points d’un plan par une transformation ponctuelle Soit dans un plan (P) une transformation ponctuelle T. Soit un ensemble E quelconque de points M de (P). L’ensemble E’ des points images des points M par T est appelé image de E par T ; il est noté :
Un ensemble E de points M de (P) sera dit invariant point par point, par T, si et seulement si tout point M de E est invariant par T. Un ensemble E de points M de (P) sera dit globalement invariant, par T, si et seulement si :
antérieures La symétrie centrale Soit dans un plan (P) un point O quelconque. On appelle symétrie centrale de centre O, la transformation dans (P) , notée SO, et définie comme suit :
Une autre définition de la symétrie centrale On peut définir la symétrie centrale à l’aide des vecteurs ; en effet :
La symétrie centrale dans un plan muni d’un repère
Or,
On sait que deux vecteurs sont égaux (on dit aussi équipollents) si et seulement si leurs composantes scalaires de même nom le sont ; ainsi :
Dans la symétrie centrale dont le centre est l’origine du repère, tout point M a pour image le point M’ dont l’abscisse et l’ordonnée sont respectivement les opposées de celles de M.
Réciproquement, si deux points M et M’ de ce plan ont leurs abscisses et leurs ordonnées respectivement opposées, alors ils sont symétriques dans la symétrie centrale dont le centre est l’origine du repère.
Conclusion Pour que deux points du plan soient symétriques par rapport à l’origine du repère, il faut et il suffit que leurs abscisses et leurs ordonnées soient opposées.
De cette conclusion, on peut déduire la propriété suivante :
Cette propriété permet de dire que d’une manière générale, l’image d’un vecteur par une symétrie centrale est un vecteur qui lui est opposé.
Propriétés de la symétrie centrale Le seul point du plan (P) invariant par la symétrie centrale de centre O est le point O.
globalement invariante par cette symétrie centrale. Démonstration
La droite (x’x) passe par O. Tout point M de la demi-droite [Ox’), différent de O, a pour symétrique le point M’ de lademi-droite [Ox), tel que :
Ces points M ne sont pas invariants par cette symétrie. Cependant, l’image de [Ox) est [Ox’) et réciproquement ; donc la droite (x’x), union de ces deux demi-droites, est globalement invariante par cette symétrie.
La symétrie centrale est une involution. Démonstration Dans le plan (P), soit une symétrie centrale quelconque SO, de centre O. Soit M un point quelconque appartenant à (P). Soient :
On a donc :
Par conséquent,
Donc, M’’et M sont confondus et par conséquent,
Donc,
La symétrie centrale conserve l’alignement de points : si trois points sont alignés, alors leurs images le sont également.
Toute droite du plan ne passant pas par le centre d’une symétrie centrale a pour image une droite qui lui est parallèle.
On en déduit que la symétrie centrale conserve le parallélisme : deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles.
La symétrie centrale conserve l’orthogonalité de deux droites : deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites perpendiculaires.
La symétrie centrale conserve les distances.
La symétrie centrale conserve les milieux de segments : si S est un segment de milieu M, alors son image S’ est un segment de milieu M’, M’étant l’image de M.
La symétrie centrale conserve les angles.
La symétrie centrale conserve les aires.
La symétrie centrale conserve les propriétés géométriques d’une figure. L’image d’un carré est un carré de même dimension ; l’image d’un rectangle est un rectangle de mêmes dimensions, l’image d’un triangle est un triangle de mêmes périmètre et aire ; l’image d’un polygone quelconque est un polygone de mêmes périmètre et aire. centre du cercle qui lui est circonscrit et centre de gravité, respectivement les points H, I, J et G, a pour image par une symétrie centrale quelconque, un triangle dont l’orthocentre, le centre du cercle qui lui est inscrit, le centre du cercle qui lui est circonscrit et le centre de gravité, sont les symétriques H’, I’, J’ et G’ des points H, I, J et G.
Un cercle quelconque de centre P et de rayon r a pour image par une symétrie centrale quelconque un cercle de centre P’, image de P par cette symétrie et pour rayon r. Un cas particulier : si un cercle a son centre confondu avec le centre d’une symétrie centrale, alors il est globalement invariant par cette symétrie.
Soit dans un plan (P) une droite d quelconque. On appelle symétrie axiale d’axe d, la transformation dans (P) , notée Sd, et définie comme suit :
D est donc médiatrice du segment [MM’] : l’axe de symétrie est médiatrice du segment obtenu en joignant un point à son image.
La symétrie axiale dans un plan muni d’un repère orthogonal
Par conséquent, (MM’) parallèle à l’axe des abscisses ; donc, les ordonnées de M, M’ et H sont égales. Ainsi,
De plus,
Or, H appartient à l’axe des ordonnées ; donc son abscisse est nulle et ainsi :
Dans la symétrie axiale d’axe, l’axe des ordonnées du repère orthogonal, tout point M a pour image le point M’ dont l’abscisse est l’opposée de celle de M et l’ordonnée est égale à celle de M.
Réciproquement, si deux points M et M’ de ce plan ont leurs abscisses opposées et leurs ordonnées égales, alors ils sont symétriques dans la symétrie axiale, d’axe, l’axe des ordonnées du repère orthogonal. Conclusion Pour que deux points du plan soient symétriques par rapport à l’axe des ordonnées du repère orthogonal, il faut et il suffit que leurs abscisses soient opposées et leurs ordonnées égales.
d’axe, l’axe des abscisses d’un repère orthogonal. Dans la symétrie axiale d’axe, l’axe des abscisses du repère orthogonal, tout point M a pour image le point M’ dont l’ordonnée est l’opposée de celle de M et l’abscisse est égale à celle de M. Réciproquement, si deux points M et M’ de ce plan ont leurs ordonnées opposées et leurs abscisses égales, alors ils sont symétriques dans la symétrie axiale, d’axe, l’axe des abscisses du repère orthogonal. Conclusion Pour que deux points du plan soient symétriques par rapport à l’axe des abscisses du repère orthogonal, il faut et il suffit que leurs ordonnées soient opposées et leurs abscisses égales.
De ces conclusions, on peut déduire la propriété suivante :
Propriétés de la symétrie axiale Dans un plan, l’ensemble des points invariants par une symétrie axiale d’axe d est d. En effet, tout point appartenant à d est confondu avec son image par cette symétrie. De plus, d est invariante, point par point, par cette symétrie.
image, par cette symétrie, une droite rencontrant d au point I.
symétrie, une droite parallèle à D et d.
invariante par cette symétrie.
Démonstration Tout point M de la demi-droite [Hx’), différent de H, a pour symétrique le point M’ de la demi-droite [Ox), tel que :
Ces points M ne sont pas invariants par cette symétrie. Cependant, l’image de [Hx) est [Hx’) et réciproquement ; donc la droite (x’x), union de ces deux demi-droites, est globalement invariante par cette symétrie.
La démonstration de cette propriété est facile ; la méthode est identique à celle utilisée pour la symétrie centrale.
La symétrie axiale conserve l’alignement de points.
images deux droites parallèles.
La symétrie axiale conserve l’orthogonalité de deux droites : deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites perpendiculaires.
La symétrie axiale conserve les distances.
La symétrie axiale conserve les milieux de segments.
La symétrie axiale conserve les angles. On verra au lycée qu’elle ne conserve pas leur orientation ou sens.
La symétrie axiale conserve les aires.
La symétrie axiale conserve les propriétés géométriques d’une figure. L’image d’un carré est un carré de même dimension ; l’image d’un rectangle est un rectangle de mêmes dimensions, l’image d’un triangle est un triangle de mêmes périmètre et aire ; l’image d’un polygone quelconque est un polygone de mêmes périmètre et aire. Un triangle quelconque ayant pour orthocentre, centre du cercle qui lui est inscrit, centre du cercle qui lui est circonscrit et centre de gravité, respectivement les points H, I, J et G, a pour image par une symétrie axiale quelconque, un triangle dont l’orthocentre, le centre du cercle qui lui est inscrit, le centre du cercle qui lui est circonscrit et le centre de gravité, sont les symétriques H’, I’, J’ et G’ des points H, I, J et G.
Un cercle quelconque de centre P et de rayon r a pour image par une symétrie axiale quelconque un cercle de centre P’, image de P par cette symétrie et pour rayon r. Un cas particulier : si un cercle a son centre appartenant à l’axe de la symétrie axiale, alors il est globalement invariant par cette symétrie.
4- La translation 4-1 Définition
On a donc :
Si x, y sont les coordonnées de M dans ce repère et si x’, y’ sont celles de l’image M’ dans ce même repère, alors on a :
Donc, on en déduit :
Ce sont les relations qui donnent les coordonnées de l’image M’, en fonction de celles du point M, dans cette translation. La translation de vecteur nul est égale à la transformation identique.
4-2 Propriétés de la translation La translation n’est pas involutive.
Démonstration
Or,
L’addition vectorielle donne :
Par conséquent :
La composée de deux translations est une translation de vecteur la somme vectorielle de leurs vecteurs.
On a :
On dit aussi que deux translations symétriques ont leurs vecteurs opposés.
La translation n’admet aucun point invariant.
Toute droite du plan, parallèle à la direction du vecteur qui définit la translation est globalement invariante par cette translation. Démonstration
Donc, (MM’) est parallèle à (AB) ; Or, par M ne passe qu’une seule droite, (d), parallèle à (AB). Par conséquent, M’ appartient à (d). Pour tout point M de (d) a donc son image appartenant à (d) ; (d) est ainsi globalement invariante par la translation donnée.
L’image d’une droite non parallèle à la direction du vecteur qui définit la translation est une droite qui lui est parallèle. Démonstration
Soient deux points M et N distincts appartenant à (d). On a :
Par conséquent,
Ce qui implique que le quadrilatère (MM’N’N) est un parallélogramme. Donc, les droites (MN) = (d) et (M’N’), image de (d) par cette translation, sont parallèles.
La translation conserve l’alignement de points.
La translation conserve le parallélisme : deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles. A titre d’exercice, je te laisse démontrer cette propriété.
La translation conserve l’orthogonalité de deux droites : deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites perpendiculaires. A titre d’exercice, je te laisse démontrer cette propriété.
La translation conserve les distances. A titre d’exercice, je te laisse démontrer cette propriété.
La translation conserve les milieux de segments.
La translation conserve les angles. A titre d’exercice, je te laisse démontrer cette propriété.
La translation conserve les aires. A titre d’exercice, je te laisse démontrer cette propriété.
La translation conserve les propriétés géométriques d’une figure. L’image d’un carré est un carré de même dimension ; l’image d’un rectangle est un rectangle de mêmes dimensions, l’image d’un triangle est un triangle de mêmes périmètre et aire ; l’image d’un polygone quelconque est un polygone de mêmes périmètre et aire. De plus, les côtés homologues dans cette translation ont leurs directions parallèles.
Un cercle quelconque de centre P et de rayon r a pour image par une translation un cercle de centre P’, image de P par cette translation et pour rayon r.
La composée de deux symétries centrales de centres différents est une translation. Démonstration Soient dans un plan deux symétries centrales SO, SO’ de centres O et O’. Soit M un point quelconque de ce plan distinct de O et de O’. On a :
De plus on a l’égalité vectorielle :
Or, les propriétés de la symétrie centrale donnent :
Donc,
Finalement,
On écrit :
Dans un plan, la composée SO’ ○ SO, de deux symétries centrales SO et SO’ de centres respectifs O et O’, distincts, est égale à la translation de vecteur :
A titre d’exercice, je te laisse démontrer que :
Dans le plan, la composée de deux symétries axiales d’axes parallèles d et d’ est une translation. Si la distance de d à d’ est égale à a, alors le vecteur de cette translation a pour longueur géométrique (on dit aussi module) égale à 2a. Démonstration
[AB] est le segment porté par la perpendiculaire commune à d et d’ ; la distance de d à d’ est donc AB égale a.
Or,
On écrit :
A titre d’exercice, démontre que :
5- La rotation 5-1 Définition Soit dans un plan (P) un point O quelconque. On appelle rotation de centre O et d’angle de mesure a, a étant donnée en degrés, la transformation ponctuelle, notée Rot(O,a), appliquant à un point M différent de O, quelconque, appartenant à (P), l’unique image, le point M’ de (P) tel que :
Soit dans un plan une rotation quelconque Rot(O,a), l’angle de rotation, de mesure a, étant balayé dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
L’image d’une droite par cette rotation est une droite.
L’image d’une droite quelconque passant par le centre de rotation O est une droite passant par ce centre.
Rot(O,a) conserve l’alignement de points.
Rot(O,a) conserve le parallélisme et l’orthogonalité : si deux droites sont parallèles (ou perpendiculaires), alors leurs images sont parallèles (ou perpendiculaires).
Rot(O,a) conserve les angles.
Rot(O,a) conserve les distances.
Rot(O,a) conserve les milieux de segments.
Rot(O,a) conserve les propriétés d’une figure géométrique : l’image d’un polygone quelconque est un polygone de mêmes périmètre et aire.
Si un cercle du plan a pour centre, le centre O de RotO,a), et si a est différente de 360°, alors ce cercle est globalement invariant par cette rotation. Si a est égale à 360°, alors ce cercle est invariant point par point.
Dans un plan, la composée de deux rotations Rot(O,a) et Rot(O,b), de même centre O est une rotation de centre O et d’angle égal à la somme des angles a et b. De plus, la composition des rotations de même centre est commutative. On écrit :
On en déduit un cas particulier : a et b sont supplémentaires
Dans un plan, la composée Sd’ ○ Sd de deux symétries axiales d’axes les deux droites d et d’ concourantes au point O, d et d’ formant un angle aigu mesurant a, a étant balayé dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, est égale à la rotation Rot(O,2a). Démonstration
Or,
Par conséquent,
Par ailleurs, OM et OM’’ sont égales. Par conséquent, la composée Sd’ ○ Sd est égale à Rot(O,2a). Cas particulier : a est égale à 90° Dans ce cas, la composée se réduit à la symétrie centrale SO.
5/14/2006 Applications affine et linéaire - 1ère partie Auteur : raymond RICHA
I- Définitions On donne deux collections d’objets quelconques E et F. Ces collections seront appelées ensembles et leurs objets correspondants seront appelés éléments.
Soit un élément a quelconque de l’ensemble E. On dira que a appartient à E et on écrira :
Soit un élément b de F n’appartenant pas à E ; On écrira :
On donne f une relation quelconque liant des éléments de E à des éléments de F. On dira que f est une relation de E vers F. E sera appelé ensemble de départ ou source de la relation f et F sera appelé son ensemble d’arrivée ou but.
Si f lie un élément a de E à un élément b de f, on dira que b est l’image de a par la relation f et on écrira :
On dira également que a est l’antécédent de b par la relation f.
Exemple :
On a : 2 divise 4, 22 et 20. On écrit alors :
Ainsi 2 possède par f trois images distinctes 4, 20 et 22. On a également : 5 divise 20 et 7 divise 49. On écrit alors :
3 n’a aucune image par la relation f. 13 n’a aucun antécédent par la relation f.
Si E et F coïncident, alors on dira que f est une relation dans E ou dans F.
Soit f une relation d’un ensemble E vers un ensemble F. f sera dite application de E dans F si et seulement si tout élément de la source E possède une image et une seule appartenant au but F.
Ainsi, s’il existe au moins un élément de la source E ne possédant pas d’images par f, alors f n’est pas une application de E dans F. De même, s’il existe au moins un élément de la source E possédant deux images distinctes ou plus dans le but F, alors f n’est pas une
Remarque : f étant une application de E dans F, il est possible que des éléments du but F n’aient aucun antécédent dans la source E.
Exemples L’exemple donné de la relation f : « … divise… » de E sur F n’est pas une application de E dans F, car 2 possède trois images distinctes et 3 n’en possède aucune.
A tout élément x de l’ensemble N des nombres entiers naturels on fait correspondre, par une relation g, un élément y de N de la manière suivante :
x étant un entier naturel quelconque, 2x et 2x + 1 le sont également et sont définis. Par ailleurs, on a :
Conclusion : Tout entier naturel x possède par g une image et une seule dans N. g est donc une application dans N.
L’ensemble des nombres réels est noté R.
Dans tout ce qui suit on considèrera une application f de R dans R ; on dit aussi une application f dans R.
f est dite application affine si et seulement si elle est définie comme suit :
a et b sont appelés coefficients de l’application affine.
Exemples
La relation dans R suivante :
n’est pas une application affine dans R, puisque l’élément 0 n’a aucune image dans R par cette relation.
Deux cas particuliers : 1er cas Si le coefficient a est nul, alors l’application affine sera dite application constante. En effet, tout nombre réel x a pour image et une seule la constante b. Dans ce cas on écrit : Quel que soit le nombre réel x,
2ème cas Si le coefficient a est différent de zéro et le coefficient b est nul, alors l’application affine sera dite application linéaire. Tout nombre réel x a pour image et une seule :
Exemples
II- Propriétés de l’application linéaire Soit f une application linéaire quelconque définie comme suit :
Démonstration
Démonstration
On dit que ces deux propriétés démontrées expriment la linéarité de f et c’est pour cette raison que f est appelée application linéaire. Conclusion
III- Détermination d’une application affine
III-1 Etant donnée l’image d’un nombre réel par une application affine, comment trouver une relation liant les coefficients de cette application ? On donne une application affine f définie par :
Solution En remplaçant x par – 1 dans l’expression de f, on obtient :
Donc,
III-2 Etant données les images de deux nombres réels par une application affine, comment déterminer cette dernière ? On donne une application affine f définie par :
Solution
D’où le système de deux équations à deux inconnues a et b à résoudre :
En multipliant par – 1 les deux membres de la première équation de ce système, on obtient le système logiquement équivalent :
En additionnant membre à membre, on obtient :
En remplaçant a, par sa valeur trouvée, dans la première équation, on obtient :
f est donc l’application affine :
III-3 Etant donnée l’image d’un nombre réel par une application linéaire, comment déterminer cette dernière ? On donne une application linéaire g définie par :
Solution
g est donc l’application linéaire :
IV- Représentation graphique ou graphe d’une application affine
IV-1 Repérage dans un plan Dans le jeu « bataille navale », chaque case est repérée sans ambiguïté par un couple de type (X,a), X étant une lettre et a étant un chiffre.
Il en sera de même pour le repérage dans un plan.
On donne d’abord un axe (x’Ox) orienté d’origine O. Le sens positif est généralement de gauche à droite ; mais rien n’empêche de prendre le sens opposé comme sens positif, à condition de conserver ce sens durant la résolution de l’exercice ou du problème.
i peut être égale à 1cm ou 2cm ou 0,5cm ou encore 1dm.
On construit ensuite un second axe orienté (y’Oy), passant par O.
j peut être différente de i. L’angle que font les deux axes peut être quelconque.
note :
Figure 1 Repère quelconque :
Si i et j sont différentes et si l’angle des deux axes est droit, on dira que le repère est orthogonal.
Figure 2 Repère orthogonal
Si i et j sont égales et si l’angle des deux axes est droit, on dira que le repère est orthonormal ou orthonormé.
Figure 3 Repère orthonormal
Dans les trois cas, pour tout point M(x,y) du repère, on a l’égalité vectorielle suivante vérifiée :
Particularité des points appartenant à l’axe des abscisses Tout point M de l’axe des abscisses a pour ordonnée nulle et pour abscisse :
Particularité des points appartenant à l’axe des ordonnées Tout point M de l’axe des ordonnées a pour abscisse nulle et pour ordonnée :
Le repère partage le plan en six régions, ses deux axes et quatre autres régions appelées quadrants.
Le premier quadrant est l’ensemble des points M(x,y) défini comme suit :
Le deuxième quadrant est l’ensemble des points M(x,y) défini comme suit :
Le troisième quadrant est l’ensemble des points M(x,y) défini comme suit :
Le quatrième quadrant est l’ensemble des points M(x,y) défini comme suit :
Ainsi, tout point M du plan est repéré par un couple unique de nombres réels (x,y) où x est son abscisse et y est son ordonnée ; on a également l’égalité vectorielle :
Réciproquement, tout couple de nombres réels (x,y) est représenté par un point M unique du plan dont l’abscisse est x et l’ordonnée est y. De plus, on a l’égalité vectorielle écrite ci-dessus.
IV-2 Représentation graphique de l’application affine
Soit une application affine quelconque f définie par :
La représentation graphique ou le graphe de f dans ce repère est l’ensemble G des points M(x,y) du plan P défini comme suit :
Pour qu’un point M(x,y) du plan P appartienne au graphe G de f il faut et il suffit que ses coordonnées vérifient la relation :
Soit le point B(0,b) du plan P. On a :
Donc,
Les coordonnées de B vérifiant la relation définissant l’application affine f, B appartient donc au graphe G de f. Le coefficient b sera appelé ordonnée à l’origine.
On démontre que G est une droite du plan P.
On démontre d’abord que le graphe de toute application linéaire est une droite passant par l’origine O du repère. En effet, soit une application linéaire f quelconque définie par :
1er cas : a réel différent de 0 On a :
Les cordonnées 0, 0 de l’origine O vérifient la relation définissant f ; donc O appartient au graphe de f. Soient deux points quelconques A et B appartenant au graphe de f. Il faudra démontrer que les points O,A et B sont alignés.
A appartenant au graphe de f, on a :
B appartenant au graphe de f, on a :
Soit la droite d passant par O et A et rencontrant (NB) au point B’. Il suffit donc de démontrer que les points B’et B sont confondus. On a :
Donc,
Or, (OPAM) et (OQBN) étant des parallélogrammes, on a :
Donc,
(MA) et (NB’) étant deux droites parallèles coupées par les deux droite sécantes (Ox) et d , on peut appliquer le théorème de Thalès qui donne :
Deux quantités égales à une même troisième sont égales ; donc :
En simplifiant, on obtient :
Les points B et B’ ayant même abscisse et des ordonnées égales sont donc confondus. Par conséquent, B appartient à d et le graphe de l’application linéaire f est la droite d. 2ème cas : a réel nul L'application linéaire se réduit à une application constante nulle et son graphe est encore une droite; cette droite est confondue avec l'axe des abscisses.
linéaire quelconque est également une droite.
Soit une application affine quelconque f définie par :
1er cas : a et b réels différents de 0 Soit (D) son graphe. Soit l’application g définie par :
Le graphe de l’application linéaire g est la droite d passant par l’origine O.
Or, on sait que l’image d’une droite par une translation est également une droite ; donc le graphe (D) de f est une droite. Le coefficient a sera appelé coefficient directeur de cette droite.
Le graphe de l’application constante est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Réciproque Réciproquement, dans un repère du plan, toute droite est le graphe d’une application affine, sinon le graphe de la relation :
Il est facile de démonter cette réciproque.
1er cas : d est parallèle à l’axe des abscisses ou confondue avec cet axe Dans ce cas d est le graphe d’une application constante de la forme :
2ème cas : d n’est pas parallèle aux axes du repère ni confondue avec l’un quelconque de ces axes On considère d’abord une droite passant par l’origine O des axes et différente de ces axes. Sur cette droite, on prend un point fixe A(a,b) tel que ses coordonnées, supposées connues, sont différentes de 0. On démontre, à l’aide du théorème de Thalès, que pour tout point M(x,y) de la droite, différent de A et de O, on a la situation de
Or, l’abscisse a de A étant différente de 0, on peut diviser les deux membres de cette égalité par a ; on obtient :
On considère ensuite une droite ne passant pas par l’origine O du repère. En utilisant la conclusion démontrée ci-dessus et la translation, on peut facilement établir que cette droite a pour équation une application affine.
3ème cas : d est parallèle à l’axe des ordonnées ou confondue avec cet axe Dans ce cas elle représente une relation de la forme :
Conclusion Toute application affine a pour graphe une droite du plan et toute droite du plan est graphe d'une application affine ou d'une relation de la forme :
On dira aussi que toute droite du plan muni d’un repère a pour équation :
De plus, pour qu’un point de ce plan appartienne à cette droite il faut et il suffit que ses coordonnées vérifient l’une ou l’autre de ces deux équations.
Applications 1ère application Dans un plan muni d’un repère quelconque, on donne deux points distincts :
On demande de trouver l’équation de la droite (AB).
On obtient ainsi le système de deux équations à deux inconnues m et n à résoudre :
En retranchant membre à membre, on obtient :
Deux cas à envisager :
1er cas
2ème cas
On peut alors diviser le deux membres de l’équation (1) par cette quantité non nulle et on obtient :
En remplaçant, dans la première équation du système, m par cette valeur trouvée, on obtient :
L’équation de la droite (AB) est donc :
Elle est bien de la forme :
Je te laisse trouver l’équation de (AB) dans chacun des trois cas
2ème application Dans un plan muni d’un repère quelconque, on donne un point A (a,b) distinct de l’origine O. Trouve l’équation de la droite (d) de coefficient directeur m et passant par A. L’équation de (d) est de la forme :
A appartenant à (d), ses coordonnées doivent vérifier l’équation de (d) ; donc on peut écrire :
On obtient ainsi une équation à une inconnue en k ; on calcule k :
L’équation de (d) est donc :
Je te laisse trouver l’équation de (d) dans chacun des deux cas particuliers suivants :
Applications affine et linéaire - 3ème partieAuteur : Raymond RICHA
Exercices
1) On donne un plan P muni d’un repère quelconque. Quel est l’ensemble des droite de P ne représentant aucune application affine ?
Solution
L’axe des ordonnées a pour équation :
Par ailleurs, toute droite de ce plan parallèle à cet axe a pour équation :
Conclusion
Toute équation de la forme :
Par conséquent l’ensemble des droites de ce plan ne pouvant représenter une application affine est l’ensemble des droites de direction l’axe des ordonnées.
2) On donne un plan P muni d’un repère quelconque.
Soient les deux applications affines f et g définies par :
Quelle relation doivent vérifier m et n pour que leurs graphes soient parallèles ?
Solution
Pour que les droites représentatives de f et g soient parallèles, il faut et il suffit que leurs coefficients directeurs soient égaux ; d’où la condition :
3)
On donne un plan P muni d’un repère quelconque.
Soit la relation définie par :
Démontre que, quelle que soit la valeur de m, cette relation est une application affine appliquant au réel x l’image y.
Pour quelle valeur de m devient-t-elle une application linéaire ?
Quelle est dans ce cas la nature de son graphe ?
Solution
Pour toute valeur de m, on peut écrire :
La dernière écriture est de la forme :
Par conséquent, pour toute valeur de m, la relation donnée liant x et y est une application affine f définie comme suit :
f est une application linéaire si et seulement si son coefficient b est nul, c’est-à-dire :
Dans ce cas, elle devient :
Ainsi, le graphe de f est l’ensemble des points M(x,y) du plan tels que l’abscisse x est égale à l’ordonnée f(x).
Cet ensemble est la réunion des bissectrices [Ot) et [Ot’) respectivement des angles droits :
Ce qui donne finalement la droite (t’t).
4)
On donne un plan P muni d’un repère quelconque.
m parcourant l’ensemble R des nombres réels, est appelé paramètre réel.
Des points M(x,y) du plan P sont définis par leurs coordonnées :
On demande de trouver l’ensemble de ces points M.
Solution
Pour ce type d’exercice, la méthode générale de résolution est la suivante :
Pour trouver l’ensemble des points M, il suffit de trouver une relation d’égalité indépendante du paramètre réel m et liant les coordonnées x et y de M.
On applique donc cette méthode à l’exercice donné.
La seconde équation du système de coordonnées de M donne m en fonction de y ; il suffit donc de remplacer, dans la première équation, m par sa valeur en fonction de y.
On obtient :
Lorsque m parcourt l’ensemble R, l’ensemble des points M est donc le graphe de l’application affine f définie par :
On dit aussi que cet ensemble est la droite d’équation :
Remarque importante :
La question posée dans cet exercice peut être exprimée différemment ; cependant la méthode de résolution est la même.
Au lieu d’exprimer la question dans le langage des ensembles, on aurait pu dire : « Lorsque m parcourt R, M parcourt le plan P ; on demande de trouver le lieu géométrique du point M ou encore la courbe que décrit le point M ».
La réponse, pour l’exercice donné, est la suivante :
Lorsque m parcourt R, le lieu géométrique du point M est la droite d’équation :
5)
On demande de trouver :
a- l’équation de la droite d’ passant par A et parallèle à d
b- l’équation de la droite d’’ passant par A et perpendiculaire à d
c- les coordonnées du point I, intersection de d’’ et d
Solution a-
A appartenant à d’, ses coordonnées devront vérifier l’équation de d’ ; donc :
d’ étant parallèle à d, son coefficient directeur A devra donc être égal au coefficient directeur de d ; ainsi :
Dans l’égalité (1), en remplaçant A par son égale ci-dessus, on déduit la valeur de B :
L’équation de d’est donc :
b-
A appartenant à d’’, ses coordonnées devront vérifier l’équation de d’’ ; donc :
d’’ étant perpendiculaire à d, le produit de son coefficient directeur m par celui de d devra être égal à – 1; ainsi :
Dans l’égalité (1’), en remplaçant m par son égale ci-dessus, on déduit la valeur de n :
L’équation de d’’est donc :
c-
I étant l’intersection de d et d’’, ses coordonnées devront vérifier simultanément l’équation de d et celle de d’’ ; donc ses coordonnées devront vérifier le système de deux équations à deux inconnues xI et yI suivant :
La première équation donne :
Dans la seconde équation, en remplaçant xI par son égale en fonction de yI, on obtient une équation du premier degré en yI :
On en déduit ensuite xI :
6)
a-
Démontre que A n’appartient pas à d.
b-
Calcule la distance du point A à la droite d, notée u.
(Dans le repère donné, l’unité de mesure des longueurs est le centimètre)
Solution
a-
Les coordonnées de A ne vérifiant pas l’équation de d, A n’appartient pas à d.
b-
La méthode générale de calcul de la distance d’un point à une droite dont l’équation est donnée est la suivante :
Premièrement, on trouve l’équation de la droite d’ passant par A et perpendiculaire à d.
Deuxièmement, on calcule les coordonnées de l’intersection I de d et d’ (I est le pied de la perpendiculaire d’)
Enfin, on applique la formule donnant la racine carrée de de la longueur AI :
A appartenant à d’, ses coordonnées devront vérifier l’équation de d’ ; donc :
d’étant perpendiculaire à d, le produit de son coefficient directeur h par celui de d devra être égal à – 1; ainsi :
Dans l’égalité (1), en remplaçant h par son égale ci-dessus, on déduit la valeur de k :
L’équation de d’est donc :
Coordonnées de l’intersection I de d et d’
I étant l’intersection de d et d’, ses coordonnées devront vérifier simultanément l’équation de d et celle de d’; donc ses coordonnées devront vérifier le système de deux équations à deux inconnues xI et yI suivant :
Dans la seconde équation, en remplaçant yI par son égale en fonction de xI, donnée par la première équation, on obtient une équation du premier degré en xI :
On en déduit ensuite yI :
Calcul de la distance u
7)
a- Démontre que ces trois points ne sont pas alignés.
b- Quelle est la particularité de la droite (AC) ?
c- Démontre que les trois hauteurs du triangle (ABC) se coupent en seul point appelé orthocentre de ce triangle.
Solution
a-
La méthode générale pour démonter que trois points ne sont pas alignés est la suivante :
On calcule l’équation de l’une des trois droites (AB), (BC), (AC).
Si l’on a choisit la droite (AB), on démontre ensuite que le point C n’appartient pas à (AB).
Si l’on a choisit la droite (BC), on démontre ensuite que le point A n’appartient pas à (BC).
Si l’on a choisit la droite (AC), on démontre ensuite que le point B n’appartient pas à (AC).
De cette méthode, on déduit également celle qui permet de démontrer que trois points sont alignés.
En effet, pour démontrer l’alignement de trois points donnés, il suffit de trouver l’équation de la droite passant par deux quelconques de ces trois points, puis de démontrer que le troisième point appartient à cette droite.
A appartenant à (AB), ses coordonnées devront vérifier son équation; donc :
B appartenant à (AB), ses coordonnées devront vérifier son équation; donc :
On obtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues a et b :
En soustrayant membre à membre, on obtient :
On en déduit b :
L’équation de (AB) est donc :
Les coordonnées de C ne vérifiant pas l’équation de (AB), C n’appartient pas à (AB) et les points A, B et C ne sont pas alignés.
b-
c-
On construit dans le repère le triangle (ABC) en rapportant les trois points A, B et C connus par leurs coordonnées respectives.
On construit les trois hauteurs [AL], [BM] et [CN] relatives respectivement aux côtés [BC], [AC] et [AB].
La méthode :
On calcule les équations des directions des trois côtés du triangle
On calcule les équations des directions de deux quelconques des trois hauteurs et on calcule les coordonnées de leur point d’intersection F
On calcule l’équation de la direction de la troisième hauteur et on démontre que les coordonnées de F la vérifient
Calcul des équations de (AB), (BC) et (AC)
L’équation de (AB) a été trouvée plus haut et elle est :
Les coordonnées de B et de C doivent vérifier cette équation ; d’où le système :
En soustrayant membre à membre, on obtient :
On en déduit d :
L’équation de (BC) est donc :
(AC) est parallèle à l’axe des abscisse et on a :
L’équation de (AC) est donc : hauteurs et des coordonnées de leur point d’intersection
On choisit, par exemple, les hauteurs [AL] et [CN] relatives respectivement aux côtés [BC] et [AB].
Equation de (AL)
(AL) étant perpendiculaire à (BC), le produit de son coefficient directeur e par celui de (BC) devra être égal à – 1; ainsi :
A appartenant à (AL), ses coordonnées doivent vérifier l’équation de (AL) ; donc :
L’équation de (AL) est donc :
Equation de (CN)
(CN) étant perpendiculaire à (AB), le produit de son coefficient directeur g par celui de (AB) devra être égal à – 1; ainsi :
C appartenant à (CN), ses coordonnées doivent vérifier l’équation de (CN) ; donc :
L’équation de (CN) est donc :
Soit F l’intersection de (CN) et (AL). Ses coordonnées devront vérifier le système :
En égalisant, on obtient :
La troisième hauteur [BM] relative à [AC] est perpendiculaire à l’axe des abscisses, car (AC) est parallèle à cet axe.
Donc (BM) est parallèle à l’axe des ordonnées et son équation est de la forme :
Or, B appartient à cette hauteur et son abscisse est – 2.
Donc l’équation de (BM) est :
Les trois hauteurs du triangle (ABC) concourent en F et ce dernier est son orthocentre.
Remarque :
Ici, pour démontrer que les trois hauteurs concourent en un point, on n’a pas été obligé de calculer l’ordonnée de F, pour la simple raison que la direction d’un des côtés du triangle était parallèle à l’axe des abscisses et que par conséquent la hauteur correspondante à ce côté était parallèle à l’axe des ordonnées.
Dans un cas quelconque, il aurait fallu poursuivre en calculant l’ordonnée de F, puis prouver que ses coordonnées vérifient l’équation de la troisième hauteur.
8)
On donne dans un plan muni d’un repère orthonormal trois droites d0, d1 et d2 d’équations respectives :
Démontre que ces droites sont concourantes deux à deux.
M, N et P étant respectivement les intersections de d0 et d1, d1 et d2, d0 et d2, démontre, sans utiliser le théorème de Pythagore, que le triangle (MNP) est un triangle rectangle.
Solution
Les trois droites sont toutes les graphes ou représentations graphiques d’applications affines.
d0 et d1 représentent respectivement les applications affines :
On a :
Leurs coefficients directeurs (on dit aussi pentes) étant distincts, les deux droites d0 et d1 sont concourantes.
d0 et d2 représentent respectivement les applications affines :
On a :
Leurs coefficients directeurs (on dit aussi pentes) étant distincts, les deux droites d0 et d2 sont concourantes.
d1 et d2 représentent respectivement les applications affines :
On a :
Leurs coefficients directeurs (on dit aussi pentes) étant distincts, les deux droites d1 et d2 sont concourantes.
d0 et d1 ont respectivement pour coefficients directeurs :
Le produit de ces coefficients est – 1.
Donc, d0 et d1 sont perpendiculaires à leur point d’intersection M et le triangle (MNP) est un triangle rectangle en M.
Applications affine et linéaire - 4ème partieAuteur : raymond RICHA
9)
On donne un rectangle (ABCD) tel que :
E est le point du segment [AB] tel que :
M est un point du segment [BC].
1. Calcule l'aire A1 du triangle (AED).
2. a) Exprime en fonction de x : . l'aire A2 du triangle (EBM) . la longueur MC . l'aire A3 du triangle (DMC)
b) Montre que la somme des trois aires A1, A2 et A3 est égale à :
En déduire que l'aire de la partie grisée est égale à :
c)
Calcule la valeur de x pour laquelle l'aire de la partie grisée est égale à la somme des trois aires A1, A2 et A3. Quelle est alors la position du point M ?
3. Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
On choisira 1cm pour représenter une unité de mesure des longueurs sur chacun des deux axes du repère.
a) Trace, dans ce repère, les droites (d1) et (d2) d’équations respectives :
b) Calcule les coordonnées du point I, intersection de (d1) et (d2).
Que représentent l'abscisse et l'ordonnée du point I, en relation avec la partie c) de la question 2. ?
Solution
Remarque préalable
Dans la majorité des exercices de Géométrie, la variable prend des valeurs positives ; dans ce cas, il faudra préciser les conditions rendant cette variable positive.
1. (AED) est un triangle rectangle en A ; son aire vaut :
2.
a)
La condition portant sur x est donc :
(EBM) est un triangle rectangle en B ; son aire vaut :
(DMC) est un triangle rectangle en C ; son aire vaut :
b)
L’aire de la partie grisée de la figure s’obtient en retranchant de l’aire du rectangle (ABCD), la somme calculée ci-dessus ; on a donc :
c) On écrit la relation qui traduit que l'aire de la partie grisée est égale à la somme des trois aires A1, A2 et A3 ; on a :
On obtient ainsi une équation à une inconnue x, du premier degré par rapport à cette inconnue.
Sa résolution donne la valeur recherchée de x.
Pour cette valeur de x, le point M est confondu avec C.
Je te laisse résoudre la question 3.
a)
La construction des deux droites (d1) et (d2) ne présente aucune difficulté.
b)
Tu dois trouver pour les coordonnées de I :
Pour cela, il suffit d’écrire que I appartenant à (d1) et (d2), ses coordonnées devront vérifier simultanément les équations de (d1) et (d2).
Tu obtiendras ainsi le système de deux équations à deux inconnues xI et yI suivant :
En résolvant ce système, tu trouveras les coordonnées de I.
L’abscisse de I correspond au fait que M est confondu avec C et son ordonnée correspond, dans ce cas particulier, à la valeur que prend l’aire de la partie grisée.
10)
On donne un triangle isocèle (ABC) de sommet A.
Sur le côté [AC], on prend le point P, différent de A, tel que :
1. Du point P, on mène la droite parallèle à (BC) qui rencontre [AB] au point R.
Calcule, en fonction de x, la longueur PR.
2. Précise, sans justifier, la nature du triangle (APR) et calcule son périmètre P(x) en fonction de x.
3. Calcule en fonction de x, le périmètre Q(x) du trapèze (PRBC).
4. Dans un repère orthonormal dont l’unité de mesure des longueurs sur ses deux axes est 1cm, trace les droites d et D d’équations respectives P(x) et Q(x).
Calcule les coordonnées I du point d’intersection de d et D.
Que signifient ces coordonnées pour les périmètres du triangle (APR) et du trapèze (PRBC) ?
Solution
1.
P parcourant le côté [AC], x devra donc vérifier la double inégalité :
Dans le triangle (ABC), (RP) est parallèle à (BC). On peut donc appliquer le théorème de Thalès qui donne :
Le triangle (APR) est isocèle de sommet A. Son périmètre P(x) est :
3.
La proportion :
donne :
P étant différent de A, x est différent de zéro ; on peut donc simplifier par x ; on obtient :
(APR) et (ABC) étant isocèles, le trapèze (PRBC) est un trapèze isocèle et on a :
Son périmètre Q(x) est donc égal à :
4.
Je te laisse le soin de construire les deux droites d et D.
marquer le point de chaque droite dont l’ordonnée est à l’origine, c’est-à-dire le point d’abscisse 0). I appartenant à la fois à d et D, ses coordonnées doivent vérifier simultanément l’équation de d et celle de D, et par conséquent, le système suivant :
En résolvant ce système, on trouve les coordonnées de I.
En soustrayant membre à membre, on obtient :
On en déduit l’ordonnée de I :
La valeur de l’ordonnée :
est l’aire commune de (APR) et (PRBC), dans le cas où P se trouve à :
11)
(ABCD) est un rectangle tel que AB = 6 cm et AD = 4 cm.
Les points M et N peuvent se déplacer respectivement sur les segments [BC] et [CD] de façon que :
1. Exprime l’aire du triangle (ABM) en fonction de x .
2. a. Calcule DN en fonction de x . b. Démontre que l’aire du triangle (ADN) en fonction de x est :
3. a.
b. Calcule les coordonnées du point R, intersection de ces deux représentations.
4. a. Pour quelle valeur de x les aires des triangles (ABM) et (ADN) sont- elles égales ? Justifie ta réponse.
b. Pour cette valeur de x, calcule l’aire du quadrilatère (AMCN).
Cet exercice ne présente aucune difficulté ; je te laisse le résoudre. Il s’agit de l’application de la formule donnant l’aire d’un triangle, de représentations graphiques d’une application affine et d’une application linéaire, du calcul des coordonnées du point d’intersection de deux droites.
12) (Ce problème a été posé à une épreuve du Brevet Officiel à l’époque ou la monnaie légale était le franc)
Une entreprise fabrique des coquetiers en bois qu'elle vend ensuite à des artistes - peintres. - Tarif n° 1 : 25 F le coquetier
- Tarif n° 2 : un forfait de 400 F et 15 F le coquetier
A- Calcule le prix de 30 coquetiers et celui de 50 coquetiers au tarif n° 1 puis au tarif n° 2.
B- On note x le nombre de coquetiers commandés. Exprime en fonction de x, les prix P au tarif n° 1 et Q au tarif n° 2.
Construis, dans un même repère orthogonal, les droite (d) et (D) représentant respectivement les deux fonctions P et Q.
(On prendra comme unités : sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 10 coquetiers commandés, sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 100 F)
C- Par simple lecture graphique, répondre aux trois questions suivantes : a- Quel est le plus grand nombre de coquetiers qu'un peintre peut acheter avec 1 200 F ? b- Pour quel nombre de coquetiers, les prix P et Q sont-ils les mêmes ? c- A quelle condition, le tarif n° 2 est-il le plus avantageux ?
Solution
A- Le prix de 30 coquetiers, au tarif n°1, est :
Le prix, au tarif n°2, est :
On remarque bien que pour cette quantité de coquetiers à commander par l’entreprise, le tarif n°1 est plus avantageux.
B-
x étant le nombre de coquetiers, une condition très importante s’impose : x est un nombre entier naturel.
Au tarif n°1, le prix de ces x coquetiers est :
Au tarif n°2, le prix de cette même quantité x est :
Représentations graphiques de ces deux prix aux tarifs différents :
Le repère est orthogonal.
On prendra comme unités de mesure, sur l'axe des abscisses 1cm pour 10 coquetiers commandés, et sur l'axe des ordonnées 1cm
Les quantités étant toutes positives, on se contente de représenter les deux applications affines dans le premier quadrant.
(d) passe par l’origine car elle est représentative de l’application linéaire :
De plus elle passe par le point B de coordonnées :
On joint O à B et on obtient (d). (D) passe par le point A dont l’ordonnée est celle à l’origine ; donc A appartient à l’axe des ordonnées et son abscisse est nulle.
Son ordonnée est 400.
On prend un second point de (D) d’abscisse 10 ; son ordonnée est alors 550. On joint A à ce dernier point et on obtient (D).
C- a- C étant le point de l’axe des ordonnées d’ordonnée 1200, on mène de ce point la demi-droite [Cz) qui rencontre (D) en un point d’abscisse égale à 53,3333….
Le plus grand nombre de coquetiers qu'un peintre peut acheter avec 1 200 F est donc 53.
b- P et Q sont égaux pour 40 coquetiers qui correspond à l’abscisse du point d’intersection I de (d) et (D).
c- (D) devient en-dessous de (d) à partir pour les abscisses strictement supérieures à 40. Donc, le tarif n° 2 devient plus avantageux pour :
5/4/2006 Coniques - 1ère PartieAuteur : Raymond RICHA
CONIQUES
I- Ellipse
I-1 Définition
Soient deux points fixes et distincts F et F’ d’un plan et un réel strictement positif a. L’ensemble des points M de ce plan tels que :
est appelé ellipse.
Cette définition est, dans le langage de la théorie des ensembles, un ensemble de points. Elle peut s’énoncer également de la manière suivante : le lieu géométrique du point M se déplaçant dans le plan tel que :
est appelé ellipse.
Les points F et F’ sont appelés foyers de l’ellipse.
FF’ est appelée distance focale de l’ellipse.
L’inégalité triangulaire appliquée au triangle (MFF’) donne :
I-2 Equation canonique de l’ellipse
Le plan, nommé P, est muni du repère orthonormal défini comme suit : L’origine est le milieu O de [FF’]. L’axe des abscisses a pour support (FF’). L’axe des ordonnées a pour support la droite passant par O et perpendiculaire à (FF’).
Soit (E) l’ellipse. F et F’ ont donc pour coordonnées respectivement :
On sait que :
D’où l’équivalence logique :
En élevant au carré les deux membres de cette dernière égalité, on obtient :
En isolant le produit des radicaux et en élevant au carré, on obtient :
C’est l’équation canonique de l’ellipse (E).
Si, dans cette équation, on rend x nulle, on obtient :
(E) rencontre l’axe des ordonnées en deux points B et B’ tels que :
Si on rend y nulle, on obtient :
(E) rencontre l’axe des abscisses en deux points A et A’ tels que :
Les points A, A’, B et B’ sont nommés sommets de l’ellipse.
Le segment [AA’], de longueur 2a strictement supérieure à celle de [BB’] qui vaut 2b, est appelé grand axe de l’ellipse.
[BB’] sera alors nommé petit axe de l’ellipse.
L’équation canonique de l’ellipse montre qu’elle possède deux axes de symétrie qui sont son grand axe est son petit axe, et un centre de symétrie qui est l’intersection de ces deux axes.
Enfin, l’application du théorème de Pythagore au triangle rectangle (OBF), rectangle en O, donne :
Et à cause de la symétrie axiale d’axe celui des ordonnées, on obtient :
Le rapport de la distance focale à la longueur du grand axe est appelé excentricité de l’ellipse ; ainsi, si on la nomme e, on obtient :
Or, on sait que c est strictement inférieur à a. Donc l’excentricité d’une ellipse est strictement inférieure à 1.
Application On donne une ellipse dont la distance focale est 8cm et la somme des distances d’un point quelconque lui appartenant aux foyers est 10cm. On demande de trouver son excentricité, la longueur de son petit axe et son équation.
Solution
I-3 Le cercle : cas particulier d’ellipse
Si a et b sont égales, alors :
L’excentricité e est nulle. L’équation devient :
On reconnaît l’équation du cercle de centre l’origine du repère et de rayon a ou b.
I-4 Directrices de l’ellipse
On suppose que l’ellipse est différente d’un cercle (son excentricité e est différente de 0). Soient les points D et D’ appartenant au grand axe et tels que :
A chacune de ces directrices, on fait correspondre celui des foyers de l’ellipse qui se trouve du même côté du centre, autrement dit :
On peut facilement démontrer par la géométrie analytique la propriété suivante : Pour tout point appartenant à l’ellipse, le rapport de ses distances à un foyer et à la directrice qui correspond à ce foyer est constant et est égal à l’excentricité e.
II- Hyperbole
II-1 Définition
Soient deux points fixes et distincts F et F’ d’un plan et un réel strictement positif a. L’ensemble des points M de ce plan tels que :
est appelé hyperbole. Cette définition peut s’énoncer également de la manière suivante : le lieu géométrique du point M se déplaçant dans le plan tel que :
est appelé hyperbole.
FF’ est appelée distance focale de l’hyperbole.
Deux cas peuvent alors se présenter pour la position de M par rapport à cette médiatrice : cas on a :
M et F’ sont du même côté par rapport à cette médiatrice ; dans ce cas on a :
Dans les deux cas, on peut appliquer l’inégalité triangulaire au triangle (MFF’). Dans le premier cas, on a :
Dans le second cas, on a :
II-2 Equation canonique de l’hyperbole
Le plan, nommé P, est muni du repère orthonormal défini comme suit : L’origine est le milieu O de [FF’]. L’axe des abscisses a pour support (FF’). L’axe des ordonnées a pour support la droite passant par O et perpendiculaire à (FF’).
Soit (H) l’hyperbole.
F et F’ ont donc pour coordonnées respectivement :
On sait que :
D’où l’équivalence logique :
En isolant le produit des radicaux et en élevant au carré, on obtient :
Après développement et simplification, on obtient l’égalité :
C’est l’équation canonique de l’hyperbole (H).
Si, dans cette équation, on rend x nulle, on obtient une équation en y qui n’admet aucune solution réelle. Par conséquent, (H) ne rencontre jamais l’axe des ordonnées.
Par définition, l’axe des ordonnées (on dit aussi [BB’]) est nommé axe imaginaire de (H). Le terme « imaginaire » est du au fait que l’équation en y, obtenue en annulant x, possède deux solutions complexes ou imaginaires.
Si on rend y nulle, on obtient :
Or, a est différent de 0 ; on peut donc écrire :
(H) rencontre l’axe des abscisses en deux points A et A’ tels que :
Par opposition à l’axe imaginaire, l’axe des abscisses (on dit aussi [AA’] est l’axe réel de (H). Les points A et A’ sont nommés sommets de l’hyperbole.
L’équation canonique de l’hyperbole montre qu’elle possède deux axes de symétrie qui sont ses deux axes réel et imaginaire, et un centre de symétrie qui est l’intersection de ces deux axes. Ce centre est nommé centre de l’hyperbole.
Enfin, l’application du théorème de Pythagore au triangle rectangle (ABO), rectangle en O, donne :
Or, on sait que :
Donc :
Et à cause de la symétrie centrale de centre O, on obtient :
Le rapport de la distance focale à la longueur de l’axe réel est appelé excentricité de l’hyperbole ; ainsi, si on la nomme e, on obtient :
Or, on sait que c est strictement supérieur à a. Donc l’excentricité d’une hyperbole est strictement supérieure à 1.
Applications 1- On donne une hyperbole dont la distance focale est 12cm. F et F’ sont ses deux foyers. Un point quelconque M lui appartenant est tel que :
On demande de trouver son excentricité, la longueur de son axe imaginaire et son équation.
Solution
2- Les asymptotes de l’hyperbole On reprend ce cas du paragraphe II-2. F et F’ sont deux points fixes et distincts du plan P tels que FF’ est égale à 2c. O est le milieu de [FF’]. P est muni d’un repère orthonormal défini comme suit : L’origine est le milieu O de [FF’]. L’axe des abscisses a pour support (FF’). L’axe des ordonnées a pour support la droite passant par O et perpendiculaire à (FF’).
On considère l’ensemble des points M de P tels que :
On sait que cet ensemble est l’hyperbole (H) d’équation :
On se propose d’étudier cette hyperbole pour les réels x strictement positifs.
L’équation ci-dessus donne :
Comme b est différent de 0, on peut écrire :
La quantité sous le radical est le trinôme du second degré en x :
Son discriminant est :
Il admet donc deux racines réelles :
Ainsi,
Dans cette région, on a :
Les symétries axiales et la symétrie centrale de l’hyperbole permet
de conclure qu’elle admet dans son domaine de définition :
deux asymptotes obliques (VV') et (UU'), d’équations respectives :
II-3 Directrices de l’hyperbole
Soient les points D et D’ appartenant à l’axe réel et tels que :
(On rappelle que e, différent de 0, est l’excentricité de l’hyperbole)
A chacune de ces directrices, on fait correspondre celui des foyers de l’hyperbole qui se trouve du même côté du centre, autrement dit :
On peut facilement démontrer par la géométrie analytique la propriété suivante : Pour tout point appartenant à l’hyperbole, le rapport de ses distances à un foyer et à la directrice qui correspond à ce foyer est constant et est égal à l’excentricité e.
III- Parabole
III-1 Définition
Dans un plan P, on considère une droite (PQ) et un point F n’appartenant pas à cette droite. On appelle parabole, qu’on notera (A), l’ensemble des points M du plan P équidistants de F et de (PQ).
F est appelé foyer de la parabole (A) et (PQ), sa directrice. Soit la droite D passant par F et perpendiculaire à (PQ) ; elle coupe (PQ) au point C. La distance FC, notée p, du foyer F à la directrice (PQ) est appelée paramètre de la parabole.
III-2 Equation canonique de la parabole
On fait munir le plan P du repère orthonormal défini comme suit : Son origine O est le milieu de FC. La droite D est l’axe des abscisses orienté positivement de O vers F. L’axe des ordonnées est porté par la droite passant par O et orthogonale à D, son sens positif étant le sens ascendant.
On a :
La droite passant par M et parallèle à l’axe des abscisses rencontre l’axe des ordonnées et la directrice d = (PQ) respectivement aux points D et K. (Voir figure ci-dessus). On a les équivalences logiques suivantes :
En se libérant du radical, on obtient :
On obtient ainsi l’équation canonique de la parabole (A). L’équation de la directrice d est :
L’équation canonique permet de dire que (A) admet l’axe des abscisses comme axe de symétrie. Les coordonnées de l’origine O du repère vérifiant l’équation canonique, O appartient à la parabole et sera appelé son sommet.
L’axe des ordonnées est donc tangent à la parabole en son sommet O.
Donc (A) est convexe et tourne sa convexité vers les abscisses négatives.
IV- Définition générale de l’ellipse, de l’hyperbole et de la parabole
On a vu plus haut que ces trois objets ont chacun des directrices.
Ils possèdent donc la propriété suivante :
Dans le cas d’une ellipse, e est strictement inférieur à 1 et est égal à :
Dans le cas d’une hyperbole, e est strictement supérieur à 1 et est égal à :
Dans le cas d’une parabole, e est égal à 1.
Réciproquement, soit dans un plan, une droite (d) donnée et un point F n’appartenant pas à (d) également donné. L’ensemble des points M de ce plan tel que :
est une ellipse, une hyperbole ou une parabole d’excentricité e.
Dans le cas d’une ellipse ou d’une hyperbole, la droite (d) sera une des directrices. Dans le cas d’une parabole, (d) sera sa directrice.
Conclusion Dans un plan, la donnée d’un réel e constant strictement positif, d’une droite (d), d’un point F n’appartenant pas à (d) détermine entièrement l’ellipse, l’hyperbole ou la parabole.
V- Coniques
L’ellipse, l’hyperbole et la parabole sont appelées coniques car chacune d’elles est l’intersection d’un cône circulaire (C) et d’un plan P. On rappelle que la surface du cône circulaire s’étend à l’infini, de part et d’autre du sommet de ce cône.
Si P ne passe pas par le sommet du cône et n’est parallèle à aucune de ses génératrices, alors la conique est une ellipse.
Si P ne passe pas par le sommet du cône et est parallèle à une et une seule de ses génératrices, alors la conique est une parabole.
P est parallèle à la seule génératrice (KK')
Si P ne passe pas par le sommet du cône et est parallèle à deux génératrices distinctes de ce cône, alors la conique est une hyperbole.
P est parallèle à deux génératrices distinctes (KK') et (LL')
Si P passe par le sommet du cône, alors on obtient l’un des trois cas suivants : P n’est parallèle à aucune des génératrices, alors l’ellipse se réduit à un point. P contient une et une seule génératrice, alors la parabole se réduit à la droite de tangence de P et du cône.
P contient deux génératrices distinctes, alors l’hyperbole se réduit à la réunion de deux droites, sécantes au sommet du cône.
VI- Formes d’une équation à deux inconnues, du second degré par rapport à ces inconnues
VI-1 Forme générale
La forme générale d’une équation à deux inconnues x et y, du second degré par rapport à ces inconnues est :
A, B, C, D, E et F étant des coefficients réels quelconques.
VI-2 Transformation de la forme générale 1ère étape Supposons B différent de 0.
Les formules de transformation sont données par le système :
Les termes en x’y’ s’éliminent et la nouvelle équation prend la forme suivante :
Remarques : Si B est nul, alors il est inutile de passer par cette première étape, puisque dans ce cas on aurait une équation qui aurait la forme de cette dernière. Si A et C sont égaux, alors l’expression :
2ème étape On doit distinguer deux cas :
L’équation :
subit la transformation qui consiste à compléter les sommes :
On obtient ainsi l’équation :
Deux cas sont à envisager, selon que K’ est différent de 0 ou K’ est nul.
Si l’une de ces quantités est strictement positive et l’autre strictement négative, alors on obtient une hyperbole.
L’équation prend une des formes suivantes :
On étudie le cas où l’équation se présente sous la première forme (le raisonnement sera le même si l’on avait la seconde forme). On a donc :
Remarque : On a écarté le cas où on aurait A’ et C’ simultanément nuls, car il correspond à la disparition de l’équation en x et y, du second degré par rapport à x et y.
Exemple
Solution
On a :
On a donc :
Le système permettant la transformation des cordonnées dans cette rotation est :
Dans l’équation donnée, en remplaçant x et y par leurs égales données par le système ci-dessus, on obtient :
L’équation donnée est par conséquent celle de l’ellipse de demi- axes :
4/20/2006 Cinématique du point - 1ère partieauteur : Raymond RICHA
(1ère partie)
Définitions
Soit E un ensemble non vide.
E sera dit R-espace vectoriel si et seulement si E est muni d’une addition, notée (+), partout définie dans E et d’une application de E × R dans R notée (.), cette addition et cette application vérifiant les propriétés suivantes :
Les éléments x du R-espace vectoriel E seront nommés vecteurs et seront notés :
L’élément unique e est dit élément neutre pour l’adition (+).
Si E possède une base B et si card (B) = n, alors on dira que le R-espace vectoriel E est de dimension n.
Pour la suite on considérera un R-espace vectoriel E de dimension 3. Sa base sera notée :
On a vu en classes de première et de seconde les objets mathématiques appelés vecteurs de l’espace physique à trois dimensions.
Appelons Ω l’ensemble de ces vecteurs.
Exercice Montre que Ω est un R-espace vectoriel.
Mouvement d’un point – Trajectoire
R sera considéré comme l’espace des temps dont tout élément réel sera noté t ; donc l’intervalle de définition I de l’application f est une partie de cet espace des temps.
L’espace (Ω , O) est rapporté à un repère orthonormal (R), la base étant :
Soit dans l’espace du repère (R) le point M tel que :
Remarque importante
La notion de mouvement est relative ; en effet, un mobile peut être simultanément au repos par rapport à un repère (R) et en mouvement par rapport à un autre repère (R’).
Par exemple, un voyageur assis dans une voiture de train est au repos par rapport au train, donc aussi par rapport à tout repère fixe pris dans le train. Mais simultanément, ce même voyageur est en mouvement par rapport à tout repère fixe dont l’origine est le centre de gravité de la gare de destination.
La trajectoire du mobile M par rapport au repère (R) est l’ensemble des points liés à ce repère avec lesquels le point mobile coïncide successivement. La trajectoire est donc une courbe fixe par rapport au repère (R).
Détermination du mouvement
On écrit :
Par élimination de t, on peut obtenir l’équation cartésienne de la trajectoire de M.
dans tout ce qui suit, on supposera la fonction vectorielle déterminant le mouvement deux fois dérivable, c’est-à-dire que les fonctions numériques seconde sur l’intervalle réel I par ailleurs les résultats et propriétés obtenus dans le repère orthonormal de l’espace
Le mouvement peut être également déterminé par la fonction numérique φ, telle que u = φ(t). Ainsi, à chaque valeur du temps t est associée une valeur du paramètre u = φ(t), qui à son tour détermine la position de M puisque l’on a :
La relation u = φ(t) est appelée loi horaire du mouvement.
La courbe représentative de cette fonction numérique u = φ(t) est nommée diagramme du mouvement.
Remarque importante On ne doit pas confondre le diagramme du mouvement et la trajectoire du point mobile.
Exercice
Vecteur-vitesse et vecteur-accélération
Ainsi, le vecteur vitesse du point mobile M est, à tout instant t, égal à :
Souvent on note également :
Le repère étant orthonormal, on a :
Remarque très importante
Si le mouvement de M est donné par la trajectoire, telle que :
alors on se trouve dans le cas d’une fonction composée :
et le vecteur-vitesse a pour composantes scalaires ou coordonnées :
Ainsi, le vecteur accélération du point mobile M est, à tout instant t, égal à :
Souvent on note également :
Remarque importante Supposons le mouvement donné par la trajectoire, telle que :
Alors le vecteur-accélération a pour coordonnées ou composantes scalaires les dérivées des coordonnées du vecteur-vitesse.
Il s’ensuit que :
Abscisse curviligne – vitesse arithmétique – distance parcourue
Si la trajectoire est une courbe (C) connue, on peut choisir sur (C) un point origine A et un sens.
Orientons le support de la vitesse au point M0 , c’est-à-dire la tangente à (C) au point M0 , selon le sens du mouvement.
A tout instant, le vecteur – vitesse est porté par la tangente à la trajectoire et, si cette tangente est orientée dans le sens du mouvement (ou encore dans le sens pris sur la courbe) alors la mesure algébrique du vecteur – vitesse est la dérivée de l’abscisse curviligne par rapport au temps t.
On pose D la distance parcourue par le mobile M sur la trajectoire (C).
On a donc :
Produit scalaire – mouvement accéléré et mouvement retardé
Représentons, dans le repère, la trajectoire (C) du point mobile M.
Or, on a :
L’étude qui précède introduisant le produit scalaire :
conduit à considérer la projection orthogonale du vecteur- accélération sur le support de la vitesse.
Fonction primitive d’une fonction vectorielle
Exercices
I-
Solution a)
Finalement, on obtient :
b) On sait que :
Finalement, on obtient :
Soit la fonction cos 2t. Soit T un réel tel que :
Par ailleurs, on a :
Or, pour T’ réel, on a :
c)
En éliminant t, on obtient l’équation cartésienne de la trajectoire de M :
Par translation du repère de vecteur :
On obtient :
La trajectoire de M est donc une ellipse de centre W(5 , 0), de grand axe, l’axe des abscisses, de demi-longueur 3 et de petit axe, la droite d’équation x = 5, de demi-longueur 2.
II-
Solution Soit u.a l’unité de mesure des longueurs dans le repère. Soit d cette distance ; on a :
Or, on sait que :
Donc,
Cinématique du point - 2ème partieAuteur : Raymond RICHA
III-
Je te laisse résoudre cet exercice.
IV-
Solution a-
On sait que :
1er cas : t nul On a :
Leurs composantes scalaires sont telles que :
2ème cas : t différent de 0
Donc,
b- On a :
La trajectoire de M est donc la droite d’équation :
La trajectoire étant une ligne droite, les vecteurs vitesse et accélération sont colinéaires.
De plus, on remarque que :
Cette relation vectorielle nous permet de connaître le sens du mouvement. En effet,le sens du vecteur-vitesse est celui du vecteur directeur de la trajectoire pour les valeurs contraire à celui du vecteur directeur pour les valeurs de t rendant (sin2t) strictement positive.
c-
L’étude des signes de (sin 2t) et de ce produit scalaire dans les intervalles suivants :
permettra de connaître le sens du mouvement ainsi que sa nature.
Soient A, B, C, D et E les positions de M respectivement aux instants suivants :
Leurs coordonnées sont :
Ainsi, aux instants suivants :
M visitera à nouveau les points B, C, B et A.
A titre d’exercice, je te laisse terminer cet exercice.
V-
Solution En posant :
le système devient :
Ce qui donne :
En remplaçant dans la première équation, a par son égale, on obtient :
La trajectoire (C) est donc une hyperbole.
VI-
Je te laisse résoudre cet exercice.
VII-
Etude d’un mouvement particulier
On a :
La trajectoire de M est donc le cercle de centre l’origine du repère et de rayon a. On dit que le mouvement est circulaire.
Vecteur-vitesse
Cas particulier du mouvement circulaire uniforme
La loi horaire qui lui correspond est donc :
On peut facilement démontrer que ce mouvement est périodique de période T tel que :
Vecteur-accélération Pour l’obtenir, il faut dériver, par rapport à t, les composantes scalaires du vecteur-vitesse. On a :
Ce qui donne en regroupant :
Finalement, le vecteur-accélération s’écrit :
Il est la somme de deux vecteurs :
Cas particulier du mouvement circulaire uniforme
Le vecteur-accélération devient tel que sa direction est normale à la trajectoire.
Par ailleurs, on a :
Donc,
Applications 1- Un point mobile M se déplace sur un axe orienté (x’x) tel que son abscisse, à tout instant t est égale à :
Détermine son vecteur-vitesse et son vecteur accélération à tout instant t.
2- On te donne un point mobile M se déplaçant dans le plan muni d’un repère orthonormal. Ses coordonnées à tout instant t sont données par le système :
Sans faire des calculs, démontre que son mouvement circulaire n’est pas uniforme. Détermine ses vecteurs vitesse et accélération. Je te laisse faire ces deux applications . 4/15/2006 Le périmètre du cercleAuteur : Raymond RICHA
1- Je découvre π Je dois d’abord me munir : - d’un rouleau de ficelle - d’un rouleau de scotch - d’un compas - d’une règle graduée - d’un crayon - des ciseaux
Ma première expérience
Sur des feuilles de papier, à l’aide de mon compas, je trace cinq cercles a, b, c, d et e, de rayons respectifs : 4cm, 5cm, 7cm, 8cm, 10cm (un cercle par feuille).
Sur une feuille indépendante, je construis un tableau à six colonnes et quatre lignes.
La troisième ligne correspond aux longueurs de ficelle que j’aurai à mesurer en fin d’expérience.
La quatrième ligne se remplira en faisant la division de L par d.
Pour chacun de ces cercles, je procède ensuite de la manière suivante :
Avec mon crayon, je repère un point quelconque sur le cercle. Je « scotche » ensuite l’extrémité libre du rouleau de ficelle sur ce point.
Je continue à « scotcher » la ficelle à plusieurs endroits du cercle, en veillant à ce qu’elle reste confondue avec lui. Pour cela, l’avancement devra se faire à petits intervalles.
Ayant fait le tour, ma ficelle devra atteindre le point que j’ai repéré au départ.
C’est à cet endroit que je dois la couper avec mes ciseaux.
La situation devra ressembler au schéma suivant :
Le point repéré au départ est nommé D sur le schéma. qui maintiennent la ficelle
Je récupère ensuite ce morceau de ficelle en le détachant du cercle.
A l’aide de ma règle graduée, je mesure la longueur de ce morceau et je la note dans mon tableau, en l’inscrivant à l’endroit correspondant au cercle avec lequel j’ai travaillé.
Ayant rempli mon tableau, j’obtiens le résultat suivant :
Je procède ensuite aux divisions successives de L par d et je remplis la dernière ligne du tableau en y inscrivant les résultats de ces divisions.
J’observe que le résultat de la division de la longueur de ficelle par la mesure du diamètre reste très proche de la valeur 3,14, ceci quel que soit le cercle considéré.
Il ya donc proportionnalité entre la longueur de ficelle et la mesure du diamètre.
Le coefficient de proportionnalité est la valeur constante 3,14.
Ma seconde expérience
Je vais aux étagères de la cuisine et je me procure de trois boîtes de conserve de diamètres différents.
J’essaie de mesurer ces trois diamètres et je les note dans un tableau semblable à celui que j’ai construis lors de la première expérience.
Je refais la même expérience, mais cette fois-ci la ficelle sera « scotchée » à la base de la boîte de conserve, de manière que sa position, bien calée à la bordure de cette base, épouse au mieux la base circulaire.
Là également je dois constater que la division de la longueur de ficelle par la mesure du diamètre reste très proche de la valeur 3,14, ceci quel que soit la boîte de conserve considérée.
Je te laisse donc faire cette deuxième expérience.
Conclusion Dans les deux expériences, la longueur de ficelle ayant épousé au mieux la longueur du cercle, je conclue que la division de la longueur d’un cercle quelconque par la mesure de son diamètre est égale à une constante qui vaut 3,14.
La longueur du cercle est appelée périmètre de ce cercle.
Je dis également que la division du périmètre d’un cercle quelconque par la mesure de son diamètre est égale à une constante qui vaut 3,14.
Cette constante, appelée coefficient de proportionnalité, est en réalité égale à : 3,1415926535897932384626433832795………
Elle sera notée par la lettre grecque π.
J’écris :
3,14 n’est donc qu’une approximation.
Lorsque cette valeur n’est pas donnée, on prendra 3,14 comme valeur de la constante.
2- Je découvre une formule
Si je note P le périmètre d’un cercle de diamètre ayant d comme mesure, alors je peux écrire :
D’où la machine :
La machine inverse donne donc :
Ceci donne la formule qui permet de calculer le périmètre P d’un cercle dont la diamètre a pour mesure d, connue :
Puisque la mesure du diamètre est double de celle du rayon, on peut également écrire :
3- J’applique la formule
Remarque importante
1) On me donne un cercle dont le rayon mesure 4cm. On me demande de calculer son périmètre.
Solution
Si j’appelle P son périmètre et R la mesure de son rayon, alors je sais que :
Donc, j’obtiens :
2)
Solution
Si j’appelle P son périmètre et d la mesure de son diamètre, alors je sais que :
Donc, j’obtiens :
3)
Solution
Si j’appelle P son périmètre et R la mesure de son rayon, alors je sais que :
J’obtiens ainsi la machine :
La machine inverse donne :
Ainsi,
J’obtiens finalement :
A toi de maintenant de t’entraîner pour la suite
4) Complète le tableau suivant :
5) Complète le tableau suivant :
Remarque sur l’utilisation de la calculatrice
Pour la calculatrice « Casio – Collège 2D », cette touche est :
1-
Pour calculer le périmètre P du cercle, la mesure d de son diamètre étant donnée, on fait comme suit :
Pour calculer la mesure d du diamètre, le périmètre P étant donné, on fait :
Entraîne-toi avec :
4/14/2006 Les fonctions logarithme népérien et exponentielle de base e - 1ère partieAuteur : Raymond RICHA
LES FONCTIONS LOGARITHME NEPERIEN ET EXPONENTIELLE (1ère partie)
I- Fonction logarithme népérien I-a Définition
Ainsi on a :
Pour la suite, on utilisera le symbole Log (avec L majuscule) pour désigner cette fonction numérique.
La définition précédente se traduit également par :
Remarque importante : La fonction logarithme népérien n’est pas définie pour les réels largement négatifs. Une écriture telle que Log (-5) n’a pas de sens en mathématiques.
Interprétons géométriquement la notion de logarithme népérien. Pour cela, soit un repère orthonormal et soit la branche hyperbolique (H) de la fonction numérique définie par :
Nous avons représenté graphiquement cette fonction pour les réels x strictement positifs.
L’aire S, de la surface plane limitée par l’axe (Ox), la courbe (H), la droite d’équation x = 1 et la droite d’équation x = a , a quelconque appartenant à R* + (partie coloriée en bleu) est :
Or on sait que Log 1 = 0 ; donc :
Ainsi, pour tout réel a appartenant au domaine de définition R* +, On peut donc généraliser en annonçant que :
Si x est strictement supérieure à 1, cette aire est strictement positive :
Si x est strictement comprise entre 0 et 1, l’aire est strictement négative :
I-b Propriétés
Soit u une fonction numérique, définie, continue, dérivable et strictement positive sur un intervalle réel I.
La fonction u étant dérivable sur I, on a :
Supposons maintenant que u est une fonction numérique définie, continue, dérivable et strictement négative sur un intervalle réel I.
D’après ce qui précède, la fonction composée, G, telle que :
Par conséquent, si u est une fonction définie, continue, dérivable et de signe constant sur un intervalle réel I, alors la fonction, H, telle que :
est dérivable sur I et sa dérivée est égale à :
Exemples 1) Soit à calculer la dérivée de la fonction numérique f définie par :
Solution Le trinôme du second degré en x :
a son discriminant égal à :
Par conséquent, ce trinôme est de signe de son coefficient a égal à 1
On a donc :
2) Soit à calculer la dérivée de la fonction numérique g définie par :
Trouvons d’abord le domaine de définition de g. La fonction g n’est pas définie pour :
Pour tout réel x appartenant à dom(g), posons :
D’où :
Comme x appartient à dom(g), cos x est différent de zéro et on peut simplifier par cos x ; on obtient finalement :
Montrons que les primitives de la fonction numérique g définie par :
Déterminons d’abord le domaine de définition de g.
Calculons alors les racines de l’équation :
Exercice Dans un repère orthonormal, on considère la fonction numérique f définie par :
Détermine le domaine de définition E de f. Etudie f et dresse son tableau de variation. Trace sa courbe représentative (C). Calcule l’aire du domaine D limité par la courbe (C), les droites d’équations respectives x = 1 et x = 4 et l’axe des abscisses.
Soit a un réel strictement positif. Les fonctions numériques telles que :
sont dérivables sur l’intervalle ] 0 , + ∞ [. On a donc :
Comme a est différent de zéro, on peut simplifier par a ; on obtient :
Déterminons C en donnant à x la valeur 1.
D’où :
Si l’on sait que le produit des réels a et b est strictement positif, on pourra écrire :
Par récurrence, on en déduit :
et en posant ai = a, [a > 0 ou (a < 0 avec n pair)], pour tout i élément de {1, 2, …, n}:
Sous forme condensée :
Soient deux réels strictement positifs quelconques a et b. Il existe au moins un réel strictement positif r et un seul tel que :
On peut facilement démontrer la relation :
Soit x un réel quelconque strictement positif, p un entier relatif quelconque et q un entier naturel non nul quelconque ; on a :
Donc :
I-c Dérivée logarithmique Définition
Soit u une fonction numérique, dérivable sur un intervalle réel I et ne s’annulant pas sur cet intervalle. On nomme dérivée logarithmique de u, sur I, le rapport :
Dérivée logarithmique d’un produit
Soient u et v deux fonctions numériques, dérivables et ne s’annulant pas sur un intervalle réel I. Le produit :
est dérivable et ne s’annule pas sur I.
La propriété s’étend aisément et par récurrence à un produit quelconque de n facteurs, n > 2. La dérivée logarithmique d’un produit de facteurs est la somme des dérivées logarithmiques des facteurs.
Dérivée logarithmique d’un quotient
Soient u et v deux fonctions numériques, dérivables et ne s’annulant pas sur un intervalle réel I.
Il s’ensuit que :
La dérivée logarithmique d’un quotient est la différence des dérivées logarithmiques de ses deux termes.
Dérivée logarithmique d'une puissance
I-d Limites Limite de la fonction logarithme népérien lorsque x tend vers + ∞
L’étude du signe de la dérivée sur [1 , + ∞[ a montré que la fonction logarithme népérien est croissante sur cet intervalle. Supposons qu’elle soit majorée sur cet intervalle. Elle admettrait donc, lorsque x tend vers + ∞, une limite réelle unique, finie, i, telle que :
Or, on sait que :
Il s’ensuivrait donc l’égalité des réels :
La fonction logarithme népérien, croissante sur [1 , + ∞[, ne peut être majorée sur cet intervalle. Donc, lorsque x tend vers + ∞, la fonction logarithme népérien tend également On écrit :
Limite de la fonction logarithme népérien lorsque x tend vers 0 + (x tend vers zéro par valeurs supérieures)
Soit x un réel strictement positif quelconque et soit son inverse X.
On a :
On sait que :
Donc :
Limites de deux fonctions numériques particulières
Calculons la limite de la fonction numérique f définie par :
Lorsque x tend vers + ∞, l’expression de f se présente sous la forme indéterminée :
Levons cette indétermination.
Il s’ensuit que, pour x >1 :
Or, on sait que :
Donc :
Calculons la limite de la fonction numérique g définie par :
En revenant à la notation en x :
On peut généraliser ce résultat important en remplaçant x par une fonction numérique quelconque tendant vers 0 avec x :
I-e Le nombre e La fonction logarithme népérien est définie, continue, monotone croissante sur R* +. Elle a pour limite + ∞ lorsque x tend vers + ∞ et pour limite – ∞ pour x tendant vers 0+. Par suite : l’équation Log x = 1 admet une solution unique. On note e cette solution. On a donc Log e = 1. Une valeur approchée de e est 2,718282.
I-f Représentation graphique de la fonction logarithme népérien Jusqu’à présent, on a déterminé le domaine de définition ; on a étudié la monotonie, les limites en 0+ et en + ∞ de cette fonction. Par ailleurs, on peut facilement montrer qu’elle est continue sur son domaine de définition. De ces résultats se dégagent donc le tableau de variation de cette fonction, puis sa courbe représentative dans un repère orthonormal . Sa limite lorsque x tend vers 0+ étant – ∞, sa courbe représentative admet comme asymptote verticale l’axe des ordonnées. Par ailleurs, on a :
Au point d’abscisse x = 1 de la courbe, la tangente à cette dernière est la droite d’équation :
Au point d’abscisse x = e de la courbe, la tangente à cette dernière est la droite d’équation :
Cette tangente passe donc par l’origine du repère.
Tableau de variation :
Représentation graphique :
Les fonctions logarithme népérien et exponentielle de base e - 2ème partieAuteur : Raymond RICHA
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
ET EXPONENTIELLE DE BASE e
(2ème partie)
II- Fonction exponentielle de base e II-a Définition et généralités On a vu précédemment que la fonction logarithme népérien est définie, continue, monotone croissante sur R*+. Il est facile d’en déduire que cette fonction est donc une bijection de R*+ sur R. La fonction logarithme népérien admet donc une fonction réciproque, définie sur R et dont l’ensemble des valeurs est R*+. On nomme fonction exponentielle de base e la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.
Notons provisoirement la fonction exponentielle de base e par « exp » .
Elle se lit « exponentielle de x »
On a donc l’équivalence logique suivante :
Les propriétés qui suivent résultent de la bijection qui a permis de définir la fonction exponentielle de base e.
a) La fonction exponentielle de base e est une bijection de R sur R*+. Il s’ensuit que pour tout réel x, il existe un réel unique, exp x, strictement positif.
b) La fonction exponentielle de base e est continue et strictement croissante sur R.
c) Puisque Log 1 = 0, exp 0 = 1. Puisque Log e = 1, exp 1 = e.
d) On sait que l’application composée d’une bijection et de sa réciproque est l’application identique d’une partie de R sur elle- même :
e)
Toutes ces propriétés nous permettent donc de dresser le tableau de variation de la fonction exponentielle de base e et de construire son graphe dans un repère orthonormal.
Exercice Dresse le tableau de variation de la fonction exponentielle de base e.
Représentation graphique On a l’implication suivante :
De plus se graphe est au-dessus de cette asymptote.
Puisque Logx et expx sont réciproques, leurs graphes sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.
Ces propriétés permettent donc de construire facilement le graphe de la fonction exponentielle de base e, à partir de celui de la fonction logarithme népérien.
II-b Propriétés Propriété fondamentale
Démonstration Soient deux réels quelconques a et b et posons c = a + b. Désignons par α, β et γ les réels uniques, strictement positifs, a = Log α, b = Log β, c = Log γ. C’est-à-dire : α = exp a, β = exp b, γ = exp c = exp (a + b).
Compte tenu de ces notations, on a :
Autres propriétés On a déjà vu que exp 0 = 1.
Démonstration
II-c Notation ex
Pour le logarithme népérien d’une puissance rationnelle d’un réel strictement positif α, on a établi :
Par définition de la fonction exponentielle de base e, on a :
D’où :
En outre :
Donc :
Conclusion :
Nous allons étendre cette conclusion à R, pour le seul nombre e. Par convention et par définition, on a :
Avec cette nouvelle notation, les propriétés précédemment établies s’expriment comme suit :
II-d Fonction dérivée de ex
La fonction exponentielle de base e étant la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, est dérivable sur R.
Finalement :
La fonction exponentielle de base e est égale à sa fonction dérivée.
Conséquence :
Donc :
La fonction exponentielle de base e est égale à sa dérivée d’ordre
II-e Recherche de primitives Sur R, les fonctions primitives de la fonction exponentielle de base e sont les fonctions numériques f définies par :
On écrit donc :
Soit u une fonction numérique, dérivable sur un intervalle réel I.
La fonction g, définie par :
admet pour fonction dérivée sur I la fonction g’ telle que :
Par conséquent :
Exemple Calculons une primitive de la fonction numérique suivante :
Solution
Exercices 1) Calcule des primitives des fonctions numériques suivantes :
2) En utilisant une intégration par parties, calcule :
II-f Recherche de limites
Pour x tendant vers 0, l’expression de f prend la forme indéterminée suivante :
Levons cette indétermination. Le nombre dérivé de la fonction exponentielle de base e au point 0 est, par définition :
Or, ce nombre dérivé est 1 ; donc on a :
Lorsque x tend vers + ∞ l’expression de h prend la forme indéterminée :
Levons cette indétermination.
Lorsque x tend vers – ∞, l’expression de k prend la forme indéterminée :
Levons cette indétermination.
Exercices résolus
Fonction logarithme népérien
1) Détermine les limites quand la variable réelle indépendante tend vers + ∞ des fonctions
Solution
2) Détermine les limites, quand x tend vers 0, des fonctions numériques suivantes :
Solution
3) Détermine la limite de la fonction numérique f définie par :
lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures.
Solution Pour x tendant vers 0, l’expression prend la forme indéterminée Levons cette indétermination en écrivant :
4) Détermine les limites, quand x tend vers 1, des fonctions numériques suivantes :
Solution
5) Calcule l’intégrale définie :
Solution
6) Calcule l’intégrale indéfinie :
Solution
7) Calcule l’intégrale indéfinie :
Solution
8) Résous dans R l’équation suivante :
Solution
9) Résous dans R l’équation :
Solution
10) Résous dans R l’équation :
Solution Notons d’abord que l’expression du premier membre n’a de sens que si le réel x est strictement positif ; donc il faut que x soit strictement positif.
11) Résous dans R2 le système :
Solution
12)
Solution
13)
Solution
Résolvons l’équation :
14)
Solution a- Le domaine de définition de f est R*. f est continue sur son domaine de définition. La dérivée de f est :
Elle est nulle pour x = 1, strictement positive pour x < 0 ou x > 1 et strictement négative pour 0 < x < 1.
D’où le tableau de variation de f :
D’où la construction de (C) :
b- Les abscisses des points d’intersection M1 et M2 de (C) et de la droite d’équation y = x + m doivent vérifier l’équation aux abscisses :
On a donc :
Il y a donc, pour toute valeur du paramètre réel m, deux points d’intersection M1 et M2 de (C) et de la droite d’équation y = x + m d’abscisses respectives :
De plus, on a, pour tout m :
L’ensemble des positions du milieu I de [M1M2] est l’axe des ordonnées.
Pour m nul, on a :
Les abscisses des points d’intersection A et B de (C) avec la première bissectrice sont respectivement – 1 et 1. Comme ces points appartiennent à la première bissectrice, on a :
La tangente en B à (C) est parallèle à l’axe des abscisses.
15) Résous dans R l’inéquation :
Solution
Résolvons l’inéquation :
Conclusion
Les fonctions logarithme népérien et exponentielle de base e - 3ème partieAuteur : Raymond RICHA
FONCTIONS LOGARITHME NEPERIEN ET EXPONENTIELLE DE BASE e
(3ème partie)
Fonction exponentielle de base e
1) Dans R, discute, suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre des racines de l’équation :
Résous cette équation dans le cas où m = 1.
Solution
Le discriminant Δ de l’équation est :
On sait que le nombre des racines de l’équation donnée dépend du signe de ce discriminant et à la condition que toute racine soit strictement positive. Donc trois cas à étudier : Δ < 0 ; Δ = 0 ; Δ > 0
On a vu que pour m = 1, l’équation donnée admet pour racine réelle X = 2.
2)
Solution Pour x tendant vers 0, l’expression de cette fonction numérique prend la forme indéterminée :
Levons cette indétermination. On sait que x tendant vers 0, x et x3 sont donc différents de 0 ; on peut alors multiplier les deux membres de la fraction définissant f par x3 ; il vient :
On sait que (voir plus haut : II-f Recherche de limites) :
3)
Détermine la limite, quand x tend vers 0, de la fonction numérique :
Solution L’exposant de e est fonction de sin x ; donc son signe dépend de la manière par laquelle x tend vers 0. Deux cas sont à envisager :
4)
Solution
5)
Solution
On sait que :
6)
Solution Calculons les deux premières dérivées ; on a :
7)
Calcule les intégrales indéfinies suivantes :
Solution
8)
a- Quelle valeur faut-il donner à f (0) pour que cette fonction numérique soit continue sur R ?
b- On prend pour f (0) la valeur obtenue précédemment.
Solution a-
Ainsi, f est continue en x = 0 si l’on prend f (0) = 0.
Finalement la fonction numérique f est définie comme suit :
f est ainsi définie et continue sur R.
b- Pour montrer que f est dérivable en 0, il suffit de s’assurer que l’expression :
admet une limite réelle finie lorsque x tend vers 0.
f est donc dérivable en 0 et sa dérivée au point 0 a pour valeur f’(0) = 0.
La fonction dérivée de f est donc continue en 0.
9)
Montre à l’aide d’une brève étude de la fonction numérique f définie par :
que l’on a :
En déduis que l’on a également :
et, plus généralement, pour tout entier positif n,
En déduis que :
Solution f est définie et continue sur R. Sa dérivée est :
Cette dérivée s’annule pour x = 0 et est strictement positive pour tout réel x strictement positif. Donc f est strictement croissante sur R+. Mais comme f (0) = 0, alors f est strictement positive sur R* + ; ainsi :
Considérons la fonction numérique g définie par :
g est définie et continue sur R. Sa dérivée est :
Cette dérivée s’annule pour x = 0 et, d’après ce qui précède, est strictement positive pour tout réel x strictement positif. Donc g est strictement croissante sur R+. Mais comme g (0) = 0, alors g est strictement positive sur R* + ; ainsi :
Raisonnons par récurrence sur n, entier positif, et supposons que l’on a :
Soit la fonction numérique u définie par :
u est définie et continue sur R. Sa dérivée est :
Compte tenu de l’hypothèse , cette dérivée, qui s’annule pour x = 0, est strictement positive pour tout réel x strictement positif. Donc u est strictement croissante sur R+. Mais comme u (0) = 0, alors u est strictement positive sur R* + ; ainsi :
On a :
10)
Solution a- On a :
Comme f est paire et g, impaire, en substituant dans cette relation x par –x, on obtient :
Additionnons et soustrayons membre à membre les relation (1) et (2) ; il vient :
b-
Les variations de f et g sont résumées dans le même tableau qui suit :
Construction de (C) et de (C’) :
On a :
Ceci implique que (C) et (C’) ont des branches paraboliques dans la direction de l’axe des ordonnées et sont asymptotes l’une à l’autre pour les valeurs infinies positives de x.
c-
l’aire S(λ) du domaine considéré (en bleu sur la figure) est égale à :
11) Calcule l’intégrale indéfinie :
Solution Rappelons les formules d’Euler :
Ainsi, on a :
Exercices non résolus
Fonction logarithme népérien
1) Résous dans R les équations suivantes :
Directives : Avant de commencer à résoudre une équation, il faudra trouver son domaine de définition, sachant que pour les valeurs réelles données à la variable x et rendant une quantité, sous Log, largement négative, sont à rejeter.
2) Résous dans R2 les systèmes suivants :
Directives : Avant de commencer à résoudre une équation, il faudra trouver son domaine de définition, sachant que pour les valeurs réelles données à la variable x et rendant une quantité, sous Log, largement négative, sont à rejeter.
3) Calcule les fonctions dérivées des fonctions numériques suivantes :
Directives : Préalablement au calcul de la dérivée, il faudra déterminer le domaine de définition de la fonction numérique donnée.
4) En utilisant la dérivée logarithmique, calcule les fonctions dérivées des fonctions numériques suivantes :
Directives : domaine de définition de la fonction numérique donnée.
5) Calcule les fonctions primitives des fonctions numériques suivantes :
6) En utilisant l’intégration par parties, calcule les primitives des fonctions numériques suivantes :
7) Trouve la limite de la fonction numérique f lorsque x tend vers
8) Résous dans R l’inéquation suivante :
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Fonctions exponentielles de base e
1) On donne les deux fonctions numériques :
Calcule :
2) Résous dans R les équations suivantes :
3) On donne la fonction numérique :
Trouve son domaine de définition et calcule l’expression de sa dérivée.
4) Discute graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel m,
(on prendra un repère orthonormal)
5) Etudie les variations et construis le graphe de la fonction numérique f définie par :
6) Calcule les deux intégrales indéfinies :
7)
8) On considère la fonction numérique f définie par :
a- Détermine la limite de f dans chacun des cas suivants :
b- Etudie les variations de f et construis, dans un repère orthonormal, sa courbe représentative (C).
c- Soit (D) le domaine limité par le demi axe [Ox’ des abscisses négatives et l’arc de (C) qui correspond à x largement négative.
Les fonctions logarithme et exponentielle de base a - 1ère partieAuteur : Raymond RICHA
LES FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE (a réel strictement positif et différent de 1)
I- Fonction logarithme de base a (a réel strictement positif et différent de 1)
I-a Définition Soit a un réel strictement positif et différent de 1 quelconque.
On remarque bien que, contrairement à la fonction logarithme népérien, cette fois le symbole « log » est en « l minuscule » et porte en indice le réel strictement positif a.
I-b Etude et propriétés
Ainsi on a :
Cette nouvelle fonction est une bijection de R* + sur R. Pour a = e, on retrouve le cas particulier de la fonction logarithme népérien ; en effet :
Si a = 10, alors la fonction logarithme à base 10 est appelée fonction logarithme décimal. On la note :
Remarque importante Au baccalauréat, à l’épreuve de Mathématiques, et au départ de la résolution d’un exercice ou d’un problème, confondre log (avec l minuscule) et Log (avec L majuscule) est une erreur fatale aboutissant à l’échec à cette épreuve.
On peut trouver l’égalité qui permet de passer d’un logarithme de base a (a strictement positif et différent de 1) quelconque à un logarithme de base b (b strictement positif, différent de 1 et de a), quelconque.
En particulier, pour a = e et b = 10,
C’est cette dernière relation qui permet de convertir un logarithme népérien en logarithme décimal et vice versa.
La fonction logarithme népérien Logx étant continue et dérivable sur
est également continue et dérivable sur son domaine de définition.
Comme x est toujours strictement positif, le signe de la dérivée dépend de celui de Loga.
Etude des limites de la fonction logarithme de base a, a réel strictement positif et différent de 1 Deux cas à envisager :
Particularités du graphe de la fonction logarithme de base a, avec a réel strictement positif, différent de 1 et de e
L’étude de la limite en zéro montre que ce graphe admet pour asymptote verticale l’axe des ordonnées.
Dans la suite, le repère sera supposé orhonormal.
Soit D une droite quelconque parallèle à l’axe ses ordonnées, rencontrant (Ca), (Ce) et l’axe des abscisses respectivement aux points A, E et H. On a :
Ainsi, le graphe de la fonction logarithme de base a, a strictement positif différent de 1 et de e, se déduit de celui de la fonction logarithme népérien par une affinité orthogonale d’axe celui des abscisses, de direction celle de l’axe des ordonnées et de rapport :
Enfin, l’équation en x :
admet une seule racine x égale à 1. Tous les graphes des fonctions logarithmes de base a passent par le point de l’axe des abscisses, d’abscisse 1.
L’étude des variations de la fonction logarithme de base a, du signe de sa dérivée, de ses limites en zéro et à l’infini, ainsi que les particularités du graphe vues précédemment, permettent de tracer ce dernier avec facilité.
II- Fonction exponentielle de base a (a réel strictement positif et différent de 1)
II-a Définition Soit a réel strictement positif et différent de 1, quelconque. On a vu que la fonction logarithme de base a est définie, continue et strictement monotone sur son domaine de définition. On a vu également qu’elle est une bijection de R* + sur R. Par conséquent, elle admet une fonction réciproque, définie sur R et prenant ses valeurs dans R* +.
Cette fonction réciproque se nomme fonction exponentielle de base a.
Provisoirement, on la notera :
Ainsi, on a l’équivalence logique suivante :
II-b Etude et propriétés Les propriétés qui suivent résultent de la bijection loga de R* + sur R. La fonction expa est une bijection de R sur R* +. Il en résulte que pour tout réel x, il existe au moins un réel, expa x, et un seul, strictement positif.
La fonction exponentielle de base a est continue et strictement monotone sur R.
Si a > 1, alors elle est strictement croissante. Si 0 < a < 1, alors elle est strictement décroissante.
En composant la bijection loga avec sa réciproque expa on obtient l’application identique Id d’une partie de R sur elle-même :
Autre expression de la fonction exponentielle de base a On a par définition :
Toute exponentielle de base a peut s’exprimer par une exponentielle de base e.
C’est une propriété très importante puisqu’elle permet, dans tout problème faisant intervenir une exponentielle de base a, de traiter cette dernière à l’aide d’une exponentielle de base e.
Propriété fondamentale
Démonstration D’après ce qui précède, on a :
Autres propriétés
Cette dernière propriété est facile à établir en utilisant encore l’égalité :
Nouvelle notation de la fonction exponentielle de base a
Cette égalité étant vraie pour tout r rationnel, on l’étend à l’ensemble R des réels en écrivant, par définition :
Ainsi, on a la fonction exponentielle de base a, définie comme suit :
On a également l’égalité importante :
En utilisant cette nouvelle notation, on peut écrire :
Démontrons la dernière égalité. On a :
Etude de la fonction exponentielle de base a
Plus haut, on a vu que cette fonction est définie pour tout réel x, continue et strictement monotone sur R. L’étude des limites se fait en envisageant les deux cas :
a > 1 et 0 < a < 1
Cette étude permet de conclure que le graphe de la fonction exponentielle de base a admet, quel que soit le repère, pour asymptote horizontale, l’axe des abscisses.
Fonction dérivée de la fonction exponentielle de base a On pose :
La dérivée ne s’annule pour aucun réel x.
Ainsi f est strictement croissante pour a strictement supérieur à 1 et strictement décroissante pour a strictement inférieur à 1.
Enfin, pour la valeur de x égale à 0, son image est a0 = 1.
L’étude des variations de la fonction exponentielle de base a, du signe de sa dérivée, de ses limites aux infinis, permettent de tracer ce dernier avec facilité.
La fonction exponentielle de base a étant la fonction réciproque de la fonction logarithme de base a, leurs graphes sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.
II-c Recherche de fonctions primitives
Soit la fonction numérique f définie comme suit :
f admet pour fonction dérivée :
Par conséquent, la fonction numérique g, définie par :
admet pour fonction dérivée g’, telle que :
Les fonctions primitives de la fonction exponentielle de base a sont donc F telles que :
On peut également écrire :
III- Fonction numérique de la forme u(x)v(x) u et v sont deux fonctions numériques quelconques. On pose :
On admettra l’égalité suivante :
Cette égalité étant admise, on doit ensuite trouver le domaine de définition, dom(f). f n’est définie que si u(x) est strictement positive. Ainsi,
Fonction dérivée de f
Or, on sait que :
On obtient finalement, avec x quelconque appartenant à dom(f) :
L’étude du signe de cette dérivée permettra de déduire les variations de f. Par ailleurs, les limites de f seront étudiées en utilisant l’écriture :
f s’écrit donc :
Son domaine de définition est donc :
Sa fonction dérivée est :
f s’écrit donc :
Son domaine de définition est donc :
Sa fonction dérivée est :
Les fonctions logarithme et exponentielle de base a - 2ème partieAuteur : Raymond RICHA
Exercices
1) Résous dans R les équations suivantes :
Solution La première équation comporte des logarithmes décimaux (logarithmes de base 10). On doit d’abord exclure les réels x pour lesquels l’équation n’a pas de sens. Il faut que :
On a :
Comme x devra être strictement supérieur à 5, la valeur 0 devra être rejetée. L’équation donnée admet donc une seule racine réelle égale à 10.
Les conditions portant sur la seconde équation sont :
Démonstration
On applique cette formule à chacun des termes du premier membre de l’équation ; on obtient :
La seconde équation est donc logiquement équivalente à :
On pose logx = X ; l’équation s’écrit alors :
On obtient ainsi une équation du second degré en X. Son discriminant est :
Les racines sont donc :
Revenant à logx, on obtient :
Les deux valeurs trouvées répondent aux conditions posées, donc elles sont acceptables.
2) Résous dans R les équations suivantes :
Solution Pour la première équation, on a :
L’équation est donc logiquement équivalente à :
Il faut que x soit un réel différent de zéro.
La seconde équation n’a de sens que si l’on a :
Cette condition posée, on la résout :
Je te laisse résoudre la troisième équation.
La quatrième équation est logiquement équivalente à :
Elle n’a de sens que si x est strictement positif et différent de 1. Cette condition étant posée, on la résout ; on a :
3) Résous dans R2 le système suivant :
Solution Le système n’a de sens que si :
La condition sur x et y posée, on a :
En posant Logx = X et Logy = Y, on obtient le système logiquement équivalent :
Les solutions de ce système sont celles de l’équation du second degré en X dont la somme des racines et leur produit sont respectivement :
Donc, on résout l’équation suivante :
D’où le système :
Comme x et y peuvent se permuter dans le système donné, ce dernier admet donc deux solutions :
4) a, b et c désignant trois réels strictement positifs et différents de 1, évalue :
Solution
Comme a, b et c sont différents de 1, par conséquent leurs logarithmes différents de zéro, on peut simplifier et on obtient :
5) Dans le système de logarithmes décimaux (base 10), soit x un réel strictement positif quelconque. On appelle cologarithme de x et on écrit :
le logarithme décimal de l’inverse de x. Ainsi, on a :
Résous dans R l’équation :
Solution Le réel x devra d’abord vérifier le système de conditions :
Cette condition posée, on résout l’équation ; on a :
Comme x est strictement supérieur à 1, le dénominateur du premier membre de cette dernière équation est différent de zéro ; donc on peut écrire :
6) Résous dans R l’équation :
Je te laisse la résoudre ; elle mène vesr la résolution d’une équation du second degré en x.
Tu trouveras deux racines dont une est à exclure car elle ne vérifie pas la condition que doit vérifier x.
L’autre sera la solution de l’équation donnée et est égale à 15.
7) Résous dans R l’inéquation :
Solution x devra d’abord vérifier la condition :
Par ailleurs, on a :
Deux cas sont à envisager :
1er cas : 0 < a < 1 La fonction loga est alors strictement décroissante sur son domaine R* +.
2ème cas : a > 1 La fonction loga est alors strictement croissante sur son domaine R* +. Par conséquent, on a :
8) Résous dans R l’inéquation :
Solution x devra d’abord vérifier la condition :
Ainsi, on a à résoudre le système :
Notre système est donc équivalent à :
Le tableau des signes de la seconde inéquation donne :
La représentation des conditions sur un axe orienté donne :
Elle montre que l’inéquation donnée admet comme ensemble de solutions :
9) Démontre que, pour tout réel x strictement positif et différent de 1, on a :
Pour chaque terme de cette somme, on applique la relation :
Ainsi, on a :
10) Résous dans R l’équation :
On utilisera les logarithmes décimaux
Solution On a :
11)
Solution Compte tenu de la seconde équation, la première s’écrit :
En prenant les logarithmes népériens des deux membres, on obtient :
Comme x est strictement positif, on peut simplifier ; on obtient :
Comme a est différent de 1, on peut écrire :
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