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9/2/2009 BIENVENUE DANS MATHS FLASH
10/14/2006 Coniques - 2ème Partie
VII- Critère de décomposition de la forme générale de l’équation à deux inconnues, du second degré par rapport à ces inconnues
Soit dans ce repère, l’équation :
A, B, C, D, E et F étant des coefficients réels quelconques. On admettra sans démonstration le critère suivant : Le premier membre de l’équation (1) se décompose en un produit de facteurs du premier degré par rapport à x ou y, si et seulement si, le déterminant du troisième ordre :
Exemple Soit dans un repère orthonormal l’équation suivante :
On a :
Par conséquent, le premier membre de l’équation donnée se décompose en un produit de facteurs du premier degré par rapport à x ou y. La transformation en deux étapes, décrite plus haut, donnera :
Soient les deux droites réelles d et d’ telles que :
d et d’, ayant leurs coefficients directeurs égaux à 1, sont parallèles. L’équation donnée a pour solution l’ensemble :
VIII- Invariants de l’équation à deux inconnues, du second degré par rapport à ces inconnues On admettra sans démonstration la propriété suivante : L’équation :
A, B, C, D, E et F étant des coefficients réels quelconques admet trois invariants, par passage d’un repère orthonormal à un autre.
IX- Trois genres de courbes
Soit dans ce repère, l’équation :
A, B, C, D, E et F étant des coefficients réels quelconques.
Soit (G) sa courbe représentative dans le repère donné. On admettra les résultats suivants :
Exemples Dans tous les exemples donnés ci-dessous, le repère est orthonormal. 1- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative.
On calcule le discriminant :
On a :
Soient les deux droites d et d’ d’équations respectives :
et
L’équation donnée est donc représentée par :
2- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative.
On calcule le discriminant :
On a :
Soient les deux droites d et d’ d’équations respectives :
et
d et d’ ont leurs coefficients directeurs égaux à 1 ; donc elles sont parallèles.
L’équation donnée est donc représentée par :
3- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative. On démontre que (G) est du genre parabole et que l’équation est représentée par Je te laisse démontrer ces résultats.
4- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative.
On calcule le discriminant :
On a :
Soient les deux droites d et d’ d’équations respectives :
et
d et d’ sont deux droites imaginaires dont l’intersection est l’origine O(0,0) du repère. L’équation donnée est donc représentée par :
Elle admet une solution réelle : O(0,0)
5- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative.
Le premier membre ne pouvant pas être égal à un réel strictement positif, 1, l’équation donnée est donc celle d’une ellipse imaginaire.
6- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative. Je te laisse démontrer que la courbe représentative de cette équation est du genre parabole et que, le premier membre de l’équation pouvant se décomposer en un produit de facteurs du premier degré par rapport à x ou y, la solution est l’ensemble :
d et d’ sont deux droites imaginaires parallèles.
7- Soit l’équation :
Soit (G) sa courbe représentative.
Je te laisse trouver, par une rotation suivie d’une translation du repère, l'équation canonique de cette parabole.
X- Conique à centre L’ellipse, l’hyperbole et l’union de deux droites concourantes possèdent, chacune, un centre de symétrie. Chacune d’elles est dite conique à centre unique. Les coniques du genre parabole n’ont pas de centre ou en possèdent une infinité.
Soit dans ce repère, l’équation :
A, B, C, D, E et F étant des coefficients réels quelconques. On suppose que cette équation représente une conique (G) à centre.
On admettra la propriété suivante : Les coordonnées du centre W de la conique vérifient le système d’équations :
Etant donné que la conique est à centre unique, on a donc la condition suivante remplie :
Le système (1) admet donc une solution unique (x0 , y0) telle que :
Conclusion Pour trouver les coordonnées d’une conique à centre il suffit de résoudre le système d’équations (1).
Exemple Dans un repère orthonormal , on donne la conique d’équation :
a) Démontre que cette conique est une conique à centre unique b) Trouve les coordonnées de ce centre. Solution a)
b)
Le premier membre de l’équation peut donc se décomposer en un produit de facteurs du premier degré par rapport à x ou y. La conique est l’union deux droites.
Les coordonnées de W vérifient le système :
Sa solution (x0 , y0) est telle que :
Exercices
1- Dans un repère orthonormal , on donne l’ensemble (E) des points M du plan vérifiant l’équation :
On demande de trouver le genre et une équation simplifiée de (E). (E) est du genre parabole et on doit trouver comme équation simplifiée de (E), l’équation :
2- Dans un repère orthonormal , on donne l’ensemble (D) des points M du plan vérifiant l’équation :
On demande d’expliciter (D). On doit trouver que (D) est l’union de deux droites concourantes (d) et (d’) d’équations respectives :
3- Dans un repère orthonormal , on donne l’ensemble (F) des points M du plan vérifiant l’équation :
On demande d’expliciter (F). On doit trouver que (F) est l’union de deux droites (d) et (d’) d’équations respectives :
4- Dans l’exemple donné au paragraphe V-2, on a trouvé que, dans un repère orthonormal, le genre de la courbe (E) représentative de l’équation :
était une ellipse. Trouve les coordonnées de son centre. Si I est ce centre, on doit trouver :
5- Dans un repère orthonormal, on donne l’ensemble (G) des points M du plan vérifiant l’équation :
Démontre que (G) est une parabole et trouve, par un changement de repère, son équation réduite. On doit trouver :
comme équation réduite.
6- Dans un repère orthonormal, on donne l’ensemble (F) des points M du plan vérifiant l’équation :
Démontre que (F) est une ellipse et trouve, par un changement de repère, son équation réduite. On doit trouver :
comme équation réduite.
7- a) On donne dans l’espace un cylindre droit dont la base est un cercle de rayon r. Ce cylindre est coupé par un plan qui fait un angle a avec la base. On note (E) l’intersection de ce plan avec ce cylindre. Explicite (E). b) Dans ce même espace, le plan précédent rencontre un cône circulaire ; l’intersection est notée (I). Ce plan est parallèle à deux génératrices distinctes du cône. Donne la nature de (I). Applications affine et linéaire - 2ème Partie
V- Positions relatives de deux droites du plan V-1 Droites parallèles 1er cas : le plan P est muni d’un repère orthonormal. Soit une application affine f définie comme suit :
Son graphe est la droite d.
Pour x nulle, y est égale à b ; d passe donc par le point A d’abscisse nulle et d’ordonnée à l’origine égale à b. Soit la droite d’ passant par A et parallèle à l’axe des abscisses. Soit la demi-droite [Ot) dont la direction est parallèle à d.
Soit M un point quelconque de d, d’abscisse non nulle. d’ rencontre la droite perpendiculaire à l’axe des abscisses abaissée de M au point H. Le triangle (AHM) est donc un triangle rectangle en H. Dans ce triangle, on a :
A et H appartenant à la droite d’ parallèle à l’axes des abscisses ont leurs ordonnées égales ; donc :
M et H appartenant à la droite (HM) parallèle à l’axes des ordonnées ont leurs abscisses égales; donc :
En remplaçant dans l’égalité (1), les coordonnées de H par leurs égales ainsi trouvées on obtient :
Or, on a :
Donc,
On obtient finalement :
Comme l’abscisse x de M est non nulle, on peut simplifier par :
D’où le résultat :
Dans un repère orthonormal, le graphe d’une application affine dont les coefficients sont différents de 0, est une droite formant avec l’axe des abscisses un angle aigu dont la tangente est égale à la valeur absolue du coefficient directeur. Ce coefficient directeur est souvent appelé pente de la droite représentative de l’application affine. Un cas particulier De cette propriété, on déduit immédiatement que si a est nul, alors :
d devient donc parallèle à l’axe des abscisses.
Soit une seconde application affine g définie comme suit :
Soit D son graphe. D’après la propriété démontrée ci-dessus, si f et g ont leurs coefficients directeurs égaux, alors leurs graphes sont parallèles. Réciproquement, soient dans un plan muni d’un repère orthonormal, deux droites d et D telles que : D et d différentes de l’axe des ordonnées et non parallèles à cet axe D et d parallèles Alors, les coefficients directeurs des applications affines que représentent D et d sont égaux.
Conclusion Dans un plan muni d’un repère orthonormal, pour que deux droites différentes de l’axe des ordonnées et non parallèles à cet axe soient parallèles il faut et il suffit que leurs pentes soient égales.
2ème cas : le plan P est muni d’un repère quelconque. La propriété ci-dessus reste valable, puisque l’une quelconque des deux droites se déduit de l’autre par une translation.
Dans tout ce qui suit le plan sera muni d’un repère orthonormal
V-2 Droites perpendiculaires Préalable Soit un triangle rectangle (ABC) quelconque, rectangle en A. Abaissons la hauteur [AH] relative à l’hypoténuse.
Parmi les propriétés métriques d’un triangle rectangle, on a : La longueur h de la hauteur, est moyenne proportionnelle aux longueurs des projetés orthogonaux des deux côtés de l’angle droit sur l’hypoténuse. Ainsi :
Propriété Soient dans un plan P muni d’un repère orthonormal, deux droites perpendiculaires d et D représentatives respectivement des applications affines f et g définies comme suit :
d et D ayant respectivement pour coefficients directeurs a et a’, leurs angles aigus avec l’axe des abscisses sont respectivement :
Soit le cercle (C) de centre l’origine O du repère et de rayon égal à la longueur commune, égale à 1u.l des deux vecteurs unitaires de ce même repère Soit H l’intersection de ce cercle et de l’axe des abscisses. De O, menons les droites d’ et D’ respectivement parallèles à d et D.
On obtient ainsi un triangle rectangle (OPQ), rectangle en O, avec :
Dans ce triangle rectangle, on a :
Ce qui donne :
Donc,
P et Q sont de part et d’autre de l’axe des abscisses ; donc on peut écrire :
D’après la propriété métrique dans un triangle rectangle, rappelée en préalable, on a :
Finalement, on obtient :
Dans un plan muni d’un repère orthonormal, deux droites distinctes des axes du repère, non parallèles à ces axes et perpendiculaires, ont le produit de leurs pentes égale à – 1. Réciproquement, dans un plan muni d’un repère orthonormal, deux applications affines de coefficients directeurs a et a’ différents de zéro et tels que a.a’ égal à – 1 ont leurs graphes perpendiculaires. Cette réciproque est facile à démontrer puisque tout triangle vérifiant la propriété rappelée ci-dessus en préalable est un triangle rectangle.
Conclusion Dans un plan muni d’un repère orthonormal, pour que deux droites, distinctes des axes de ce repère et non parallèles à ces axes, soient perpendiculaires, il faut et il suffit que le produit des coefficients directeurs des applications affines qu’elles représentent soit égale à – 1.
Récapitulation générale Le plan est muni d’un repère quelconque
L’axe des abscisses a pour équation :
On dit que l’ensemble des points du plan d’ordonnées nulles est l’axe des abscisses.
L’axe des ordonnées a pour équation :
On dit que l’ensemble des points du plan d’abscisses nulles est l’axe des ordonnées.
L’équation de toute droite parallèle à l’axe des ordonnées est de la forme :
On dit que l’ensemble des points du plan d’abscisses constantes est une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
L’équation de toute droite parallèle à l’axe des abscisses est de la forme :
On dit que l’ensemble des points du plan d’ordonnées constantes est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
L’équation de toute droite distincte des axes du repère et non parallèle à ces axes est de la forme :
Deux droites d et d’ représentatives des deux applications affines f et g définies comme suit :
- sont concourantes si et seulement si a et a’ sont distincts - sont parallèles si et seulement si a et a’ sont égaux et b et b’ sont distincts - sont confondues si et seulement si a et a’ sont égaux et b et b’ sont égaux
Le plan est muni d’un repère orthonormal
Les conclusions ci-dessus sont encore valables. De plus, pour que deux droites distinctes des axes du repère et non parallèles à ces axes soient perpendiculaires, il faut et il suffit que le produit des coefficients directeurs des applications affines qu’elles représentent soit égal à – 1.
Transformations ponctuelles - 2ème Partie
Exercices 1)
Solution On sait que :
Donc,
Deux vecteurs sont égaux (on dit aussi équipollents) si et seulement si leurs composantes scalaires de même nom sont égales ; donc :
Ces deux égalités impliquent :
2)
Solution On sait que la symétrie centrale de centre O, origine du repère, transforme un point M(x,y) en un En posant SO, on obtient :
On sait que la symétrie axiale d’axe, l’axe des abscisses, transforme un point M (x,y) en un point En posant Sx’x, on obtient :
On sait que la symétrie axiale d’axe, l’axe des ordonnées, transforme un point M (x,y) en un point En posant Sy’y, on obtient :
3) Dans le plan, on donne un triangle quelconque (ABC). Soit A’ le symétrique de A par rapport à la droite (BC). Démontre que l’aire du triangle (A’BC) est égale à celle du triangle (ABC). Solution Les triangles (ABC) et (A’BC) sont symétriques dans la symétrie axiale d’axe (BC). Or, on sait que la symétrie axiale conserve les aires, donc les triangles (ABC) et (A’BC) ont même aire.
4) Dans le plan, on donne le parallélogramme (ABCD) de centre O (O est donc l’intersection de ses diagonales). a- Démontre que les triangles (ABD) et (CDB) ont même aire. Que peux-tu en conclure ? b- D’un point quelconque K appartenant à (BD), on mène une droite parallèle à (AB) qui rencontre Toujours de K, on mène une droite parallèle à (BC) qui rencontre (AB) et (DC) Démontre que les aires des parallélogrammes (KGCF) et (AEKH) sont égales. Solution a- Soit SO la symétrie centrale de centre O. On sait que dans un parallélogramme, l’intersection des diagonales est le milieu de ces dernières. Par conséquent :
Ainsi,
Or, on sait que la symétrie centrale conserve les aires ; donc les triangles (ABD) et (CDB), étant Conclusion : une diagonale d’un parallélogramme partage ce dernier en deux triangles de même aire. b- Pour simplifier les écritures, l’aire d’une figure F se notera : a(F). D’après la conclusion ci-dessus, on a : [BD] étant une diagonale du parallélogramme (ABCD), a(ABD) est égale à a(BCD) [BK] étant une diagonale du parallélogramme (EBGK), a(EBK) est égale à a(BGK) [KD] étant une diagonale du parallélogramme (KFDH), a(KHD) est égale à a(KFD) Or, on a :
Deux quantités égales à une même troisième sont égales ; donc les parallélogrammes (AEKH) et (KGCF)
5)
Solution Il s’agit là d’une construction géométrique.
Si A’ est l’image de A par la rotation Rot(O,30°), alors :
Je trace donc le cercle de centre O et de rayon OA. Le point A’ sera l’intersection de ce cercle et de la demi-droite [Ox) faisant avec [OA) un angle balayé dans le sens contraire des aiguilles d’une montre et égal à 30°. Si B’ est l’image de B par la rotation Rot(O,30°), alors :
Je trace donc le cercle de centre O et de rayon OB. Le point B’ sera l’intersection de ce cercle et de la demi-droite [Oy) faisant avec [OB) un angle balayé dans le sens contraire des aiguilles d’une montre et égal à 30°.
6)
Solution On sait que la pente 2 de la droite d est la tangente de l’angle aigu que forme d avec l’axe des abscisses.
L’image du support (x’x) de l’axe des abscisses par cette rotation est donc la droite D passant par O et de pente 2.
7)
Solution La méthode : on calcule d’abord les coordonnées des images A’ et B’ de A et B par la translation donnée ; puis on applique les formules donnant les coordonnées de M’ milieu de [A’B’].
On sait que si M’(x’,y’) est milieu de [A’B’], alors :
Donc,
8)
Solution Dans le repère donné, on place les points A, B, C, D, E et F. a)
Il en sera de même pour les deux autres questions de 1) ; je te laisse donc démontrer que l’on a :
b)
c)
Par ailleurs, on a :
Finalement, on obtient :
9)
Solution Soit :
l’équation de d’. La translation transformant une droite en une droite qui lui est parallèle, la pente de d’ devra donc être L’équation de d’ prend la forme :
d rencontre l’axe des ordonnées au point B(0,– 1).
Or, B’ appartient à d’ ; ces coordonnées vérifient l’équation de d’. On a donc :
L’équation de d’ est finalement :
7/10/2006 Géométrie analytique dans l'espace - 1ère partieAuteur : Raymond RICHA
Géométrie analytique dans l'espace
1- Base et repère de l’espace – Vecteurs dans un repère de l’espace
On note :
Propriétés
Soit O un point quelconque de cet espace.
Ce repère possède un des deux sens : direct ou indirect.
Lorsque le repère est donné sans aucune indication quant à sons sens, ce dernier est supposé direct.
Repère orthonormal
Remarques Toute propriété satisfaite dans un repère quelconque l’est également dans tout repère particulier. Si la nature du repère n’est pas explicitement précisée, alors on considèrera qu’il est un repère direct et quelconque.
Dans ce repère, on retrouve les mêmes propriétés citées en début de ce chapitre :
Soient, dans ce repère, deux points quelconques et distincts A(x,y,z) et B(x’,y’,z’). D’après la relation de Chasles, on peut écrire :
Or,
Par conséquent,
La première composante est la différence entre l’abscisse de l’extrémité du vecteur considéré et celle de son origine. La seconde composante est la différence entre l’ordonnée de l’extrémité du vecteur considéré et celle de son origine. La troisième composante est la différence entre la cote de l’extrémité du vecteur considéré et celle de son origine.
2- Parallélisme
Dans un repère, deux vecteurs non nuls ont leurs directions ou supports parallèles si et seulement si leurs composantes scalaires de même nom sont proportionnelles. Ce théorème est logiquement équivalent au suivant : Dans un repère, deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leurs composantes scalaires de même nom sont proportionnelles.
d // d’
3- Vecteurs orthogonaux - Produit scalaire
Il est évident que si deux vecteurs sont orthogonaux, alors deux vecteurs qui leur sont respectivement colinéaires sont également orthogonaux.
d et d’ sont orthogonales
Propriétés 1- Comme la multiplication dans R, ensemble des nombres réels, est commutative et comme deux angles orientés opposés ont même cosinus, il est alors évident que le produit scalaire des vecteurs est également commutatif. On écrit :
2-
3-
Théorème
Démonstration
Expression analytique du produit scalaire dans un repère de l’espace
C’est l’expression analytique générale du produit scalaire de deux vecteurs de l’espace muni Si le repère est normal, avec :
alors,
Si le repère est orthogonal, alors :
De plus, sachant que le produit scalaire est commutatif, l’expression devient :
Si le repère est orthonormal, alors :
et
Dans ces conditions, l’expression analytique du produit scalaire se D’après ce qui a été dit et démontré précédemment, on a le théorème important suivant : Dans l’espace muni d’un repère orthonormal, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si l’expression analytique de leur produit scalaire est nulle.
Une application directe du produit scalaire dans l’espace muni d’un repère orthonormal
Si de plus, ce vecteur est différent du vecteur nul, alors :
De la même manière, on établit les deux autres relations :
Cette relation est l’expression analytique du théorème de Pythagore. Dans un repère orthonormal de l’espace, le produit scalaire permet ainsi de calculer la distance entre deux points ou encore la longueur d’un segment de cet espace.
4- Equations de la droite, du plan et de quelques figures ou solides remarquables de l’espace muni d’un repère orthonormal
Equation d’un plan passant par un point donné et orthogonal à un vecteur non nul donné
Démonstration
Conclusion : Dans l’espace muni d’un repère orthonormal, l’équation d’un plan est de la forme générale :
Théorème Dans l’espace, muni d’un repère orthonormal, deux plans distincts sont parallèles si seulement si deux de leurs vecteurs normaux respectifs sont colinéaires.
Démonstration
On suppose que P et Q sont parallèles et on démontre que leurs vecteurs normaux respectifs :
sont colinéaires. P et Q étant parallèles, toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.
Réciproque On suppose que P et Q sont tels que :
On démontre que P et Q sont parallèles. Les deux vecteurs précités étant colinéaires, ont même direction. P et Q étant orthogonaux à ces deux vecteurs, sont orthogonaux à cette direction, donc ils
Conséquence
Si de plus α, β et γ sont différents de 0, alors cette condition nécessaire et suffisante peut s’écrire :
Cette conséquence sert souvent à démontrer le parallélisme de deux plans inclus dans un espace muni d’un repère orthonormal. Remarque :
Dans l’espace, muni d’un repère orthonormal, deux plans distincts sont orthogonaux si et seulement si deux de leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.
Démonstration
Les vecteurs :
leur sont respectivement normaux. On suppose que P et Q sont orthogonaux et on démontre que ces deux vecteurs sont orthogonaux.
P et Q étant distincts, se coupent selon la droite D. Soit A un point quelconque de D. Dans P, on élève de A une droite d perpendiculaire à D. Dans Q, on élève de A une droite d’ perpendiculaire à D. P et Q étant orthogonaux, l’angle dièdre (d, d’) est droit. d et d’ sont donc respectivement orthogonales à Q et à P.
On suppose que P et Q sont tels que :
On démontre que P et Q sont orthogonaux.
L’angle (d,d’) est droit. Soit (xx’) l’intersection des plans P et Q. Le plan (d,d’) rencontre (xx’) au point H. La droite d rencontre P au point F et la droite d’ rencontre Q au point G.
(HF) étant parallèle à d’ et d’ étant orthogonale à Q, (HF) l’est également ; par conséquent (HF) est orthogonale à toute droite de Q et en particulier à (x’x) ; de même, (HG) étant parallèle à d et d étant orthogonale à P, (HG) l’est également ; par conséquent (HG) est orthogonale à toute droite de P et en particulier à (x’x).
Par conséquent P et Q sont orthogonaux.
Conséquence Soient, dans un espace muni d’un repère orthonormal, deux plans définis comme suit :
Cette conséquence sert souvent à démontrer l’orthogonalité de deux plans inclus dans un espace muni d’un repère orthonormal.
Plan passant par trois points, deux à deux distincts, non alignés, donnés
On sait que de tels points définissent entièrement un plan que l’on désigne par P. Connaissant les coordonnées de ces points, il s’agit de trouver l’équation cartésienne (E) de P dont la forme générale est :
Chacun de ces trois points appartenant à P a ses coordonnées vérifiant (E). On obtient ainsi un système de trois équations à quatre inconnues :
En prenant ces équations deux à deux, et en soustrayant membre à membre, on élimine δ. (1) et (2) donnent :
(1) et (3) donnent :
(2) et (3) donnent
Finalement, on obtient un système de trois équations à trois inconnues
Comme trois points deux à deux distincts et non alignés déterminent un plan, ce système doit admettre au moins une solution. Par ailleurs, le déterminant de Cramer étant nul, il admet donc une infinité de solutions. On fixe donc une des inconnues, par exemple α, en la supposant différente de zéro et on calcule les deux autres, β et γ, en fonction de α. Pour déterminer δ en fonction de α, il suffit d’utiliser une des trois équations (1), (2) et (3). Revenant à la forme générale de l’équation (E), et en remplaçant les trois inconnues calculées en fonction de α, on obtient une équation de la forme :
Comme α est non nulle, on peut simplifier et ainsi obtenir l’équation recherchée :
Exemple
Ces trois points étant deux à deux distincts et non alignés définissent donc un plan.
A, B et C appartenant à P, leurs coordonnées respectives doivent vérifier cette équation ; on a donc :
En soustrayant les deux membres des deux premières équations, on obtient :
En soustrayant les deux membres des deux dernières équations, on obtient :
En soustrayant les deux membres de la première et troisième équation, on obtient :
On obtient finalement le système :
Ce système dont le discriminant de Cramer est nul, admet une infinité de solutions, du fait que On fixe la composante α en la supposant non nulle. Les deux dernières équations donnent, par addition membre à membre, une relation entre α et β :
La première équation donne γ en fonction de α et β :
La première équation du premier système donne :
(E) devient :
D’où l’équation de P :
Plan passant par un point donné et orthogonal à une droite donnée
On demande de trouver l’équation (E) du plan P passant par A et orthogonale à d.
A appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z Exemple
A appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z
L’équation (E) est finalement :
Plan passant par deux points distincts donnés et parallèle à une droite donnée, les deux points étant tels que la droite qu’ils définissent et celle donnée sont non coplanaires
On demande de trouver l’équation (E) du plan P contenant [AB] et parallèle à d.
Un de ses vecteurs normaux est :
On a donc :
A appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z
B appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z
On obtient ainsi un système de quatre équations à quatre inconnues u, v, w et δ. Son discriminant étant nul, il admet donc une infinité de solutions. En fixant une des quatre inconnues, par exemple u, et en la supposant non nulle, on calcule les trois autres en fonction de celle-ci. Revenant à la forme générale de l’équation (E), et en remplaçant les trois inconnues calculées
Comme u est non nulle, on peut simplifier et ainsi obtenir l’équation recherchée :
Exemple Trouve l’équation du plan P passant par les points A(1,1,1) et B(2,3,4) et parallèle à l’axe des cotes z’z.
Un de ses vecteurs normaux est :
On a donc :
A appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z
B appartenant à P, ses coordonnées doivent vérifier (E) ; en remplaçant dans (E), x, y et z
D’où le système :
Le discriminant de Cramer du système étant nul, ce dernier admet une infinité de solutions. En fixant la composante u, supposée non nulle, on calcule δ et v en fonction de celle-ci. Les deux dernières équations permettent de calculer v en fonction de u ; on obtient :
La deuxième équation permet de calculer δ en fonction de u ; on obtient :
En simplifiant par u, non nulle, on obtient finalement :
Géométrie analytique dans l'espace - 2ème partieAuteur : Raymond RICHA
Géométrie analytique dans l'espace
suite
Distance d’un point à un plan
On abaisse de A la droite d orthogonale à P qui rencontre ce dernier au point H. Par définition, AH est la distance du point A au plan P.
On a donc :
Donc,
Equations d’une droite dont un des vecteurs directeurs est donné
Un point M(x,y,z) de cet espace appartient à d si et seulement s’il existe un réel λ et un seul tel que :
Ce sont là les équations paramétriques de la droite d. Si de plus d n’est parallèle à aucun des axes du repère et n’est confondue avec aucun de ces axes, alors cette condition nécessaire et suffisante s’écrit sous la forme d’une situation de proportionnalité :
Réciproquement, tout système de la forme :
définit les équations paramétriques d’une droite passant par le point de coordonnées a, b et c et ayant pour vecteur directeur de composantes scalaires α, β et γ.
Pour tout point M(x , y, z) de la droite d, il existe un réel λ et un seul tel que :
Réciproquement, pour tout réel λ, le système :
définit un point M(x , y, z) unique appartenant à la droite d. Lorsque le paramètre réel λ parcourt l’ensemble des nombres réels, le point M(x , y , z) parcourt la droite d.
Intersection de deux plans
On sait que s’il existe au moins un réel non nul λ tel que :
alors P et Q sont parallèles.
Dans le cas contraire, c’est-à-dire si les coefficients réels u, v et w ne sont pas respectivement proportionnels aux coefficients réels u’, v’ et w’, alors P et Q, étant distincts, ne sont pas parallèles et se coupent selon une droite d. d est ainsi l’intersection de ces deux plans.
Réciproquement, tout système de deux équations de la forme :
et tel que les coefficients réels u, v et w ne sont pas respectivement proportionnels aux coefficients réels u’, v’ et w’ représente une droite qui est intersection des plans d’équations respectives :
est appelé système d’équations représentant la droite d.
Passage du système d’équations représentant une droite aux équations paramétriques de cette droite Une droite d est donnée par un système de deux équations de la forme :
On se propose de trouver ses équations paramétriques. On prend deux points distincts A et B arbitraires tels que leurs coordonnées respectives vérifient le système donné.
Pour tout point M(x, y, z) appartenant à d, il existe au moins un réel λ et un seul tel que :
Si de plus m, n et p sont différents de 0, on peut écrire la situation de proportionnalité :
Exemple
On demande de trouver les équations canoniques de cette droite. Si l’on prend une valeur arbitraire pour x, par exemple 0, on constate que le système :
n’admet aucune solution. On verra par la suite pourquoi on ne peut donner à x une valeur arbitraire. Soit z égale à 0 ; le système devient :
Le discriminant est égal à :
Ce discriminant étant différent de zéro, le système admet une solution unique dans R2.
Cette solution est :
Soit y égale à 0 ; le système devient :
Le discriminant est égal à :
Ce discriminant étant différent de zéro, le système admet une solution unique dans R2. Cette solution est :
M(x , y, z) étant un point quelconque de cet espace, on a donc la suite des équivalences logiques suivante :
Parallélisme et orthogonalité de deux droites dont les équations sont données
d et d’ont pour vecteurs directeurs :
Théorème d et d’ sont parallèles si et seulement si les directions ou supports de ces vecteurs directeurs sont parallèles. Ce qui se traduit par :
Théorème d et d’ sont orthogonales si et seulement si le produit scalaire des mêmes vecteurs directeurs Ce qui se traduit par :
Distance d’un point à une droite dont les équations sont données
On demande de calculer la distance de A à d. On mène de A le plan P orthogonale à d qui rencontre cette dernière au point H. Comme d est orthogonale à P, elle est orthogonale à toute droite incluse dans P et en particulier Par définition, AH est la distance de A à d.
La méthode pour calculer AH 1- On cherche l’équation du plan P 2- On calcule les coordonnées de H 3- Connaissant les coordonnées de A et de H, on applique le théorème de Pythagore
Exemple
(L’unité de mesure des longueurs prise dans le repère est le centimètre) On demande calculer la distance de A à d au dixième près par défaut. On mène de A le plan P orthogonale à d qui rencontre cette dernière au point H. Equation de P La forme générale de l’équation de P est :
d étant orthogonale à P, tout vecteur directeur de d est un vecteur normal de P.
A appartenant à P, ses coordonnées vérifient donc l’équation de P et on a :
Finalement, l’équation de P est :
Coordonnées de H
H étant l’intersection de d et de P, ses coordonnées vérifient le système :
On a donc :
La situation de proportionnalité permet de calculer l’ordonnée et la cote de H en fonction de
Par conséquent,
Calcul de AH Le théorème de Pythagore appliqué dans cet espace donne :
5- Coordonnées du barycentre d’un système de points pondérés de l’espace muni d’un repère orthonormal
Ce sont là les relations donnant les coordonnées du barycentre G en fonction des coordonnées Exemples 1-
2-
6- Equations cartésiennes de solides remarquables pris dans un espace muni d’un repère orthonormal
6-1 La sphère
L’ensemble des points M(x , y, z) de cet espace tels que AM est égale à r est appelée sphère de centre A et de rayon r. Cet ensemble sera noté S(A,r). Le théorème de Pythagore permet d’écrire :
On obtient ainsi l’équation de la sphère de centre A et de rayon r.
Si A est confondu avec l’origine O du repère, alors l’équation de la sphère de centre O et de rayon r s’écrit :
Si r est nul, alors la sphère S(A,0) se réduit à l’ensemble {A}.
Positions relatives d’une sphère et d’un plan
On mène de A la droite D orthogonale au plan P ; elle coupe ce dernier au point H. Par définition, AH est la distance de la sphère S(A,r) au plan P et on écrit :
On a les résultats évidents suivants :
Intersection d’un plan et d’une sphère
On suppose que P est sécant à S(A,r). Si la droite passant par A et orthogonale à P coupe ce dernier au point H, alors :
Soit (E) l’intersection de S(A,r) et de P. (E) est représenté par le système :
On demande de trouver la nature de (E). Soit M(x , y , z) un point quelconque de (E). (AHM) étant un triangle rectangle en H, on peut lui appliquer le théorème de Pythagore qui donnera AM :
Or A et P étant fixes, la droite passant par A et orthogonale à P et son intersection H avec P le sont également. Par conséquent, la quantité AH est constante. (E) est donc le cercle de centre H et de rayon égal à :
Connaissant r, u, v, w et d, on peut trouver ce rayon.
La méthode 1- On calcule la distance AH (distance d’un point à un plan). Elle est égale à :
2-
Exemples 1-
Démontre que P est sécant à S(A,4) et calcule le rayon du cercle – intersection. (L’unité de mesure des longueurs est le centimètre)
P est donc sécant à S(A,4). L’intersection est un cercle de centre H et de rayon r’ égal à :
2-
Démontre que Q est sécant à S(O,2) et calcule le rayon du cercle – intersection. (L’unité de mesure des longueurs est le centimètre)
Soit D la droite passant par O et orthogonale à Q ; elle coupe ce dernier au point F.
P est donc sécant à S(O,2). L’intersection est un cercle de centre F et de rayon r' égal à :
Equation du plan tangent à une sphère en un point de tangence donné
On demande de trouver l’équation du plan P tangent à S(A,r) au point de tangence R. Soit M(x , y , z) un point quelconque de cet espace.
Cette dernière équation est donc celle du plan P ; en la développant, on pourra la mettre sous la forme :
Exemple
On demande de trouver l’équation du plan P tangent à S(O,2) au point de tangence R. Soit M(x , y , z) un point quelconque de cet espace.
P est le plan parallèle au plan (xOy) du repère et passant par R.
6-2 Le cylindre de révolution Définition Soit une direction quelconque D de l’espace muni d’un repère orthonormal R.
On appelle surface cylindrique de révolution, celle engendrée, par la rotation autour de D, d’une droite d parallèle à D. d est appelée génératrice de cette surface et D, son axe de révolution. Soit S cette surface. Soient dans ce même espace, deux plans P et Q distincts, parallèles et orthogonaux à D. L’intersection de chacun de ces plans avec S est un cercle. Les deux cercles, ainsi définis, ont leurs centres appartenant à l’axe D et ont même rayon r. P et Q délimite ainsi une portion de S appelée cylindre de révolution, droit. D et d sont respectivement l’axe et la génératrice de ce cylindre. L’un quelconque des deux cercles définis précédemment est appelé directrice ou base de ce cylindre.
Equations du cylindre de révolution, droit
Soit S cette surface. L’intersection de S et du plan (xOy) est le cercle (C) de centre A et de rayon r. L’équation de (C) est donc :
Soient M(x , y , z) un point quelconque de S et m, sa projection orthogonale dans le plan (xOy). Par conséquent m appartient au cercle (C). On a donc :
Or, m appartenant à (C), on obtient :
Par conséquent, l’abscisse et l’ordonnée de M vérifient l’équation :
Le système d’équations représentant la surface S est donc :
Soit un plan P parallèle à (xOy) et d’équation :
Il coupera S selon un cercle (C’) de même rayon que (C) ; son centre appartient à l’axe D. La portion de S délimitée par le plan (xOy) et P est un cylindre de révolution, droit, d’axe D, de directrice (C) et de génératrice d. Le système d’équations représentant ce cylindre est l’un ou l’autre des deux systèmes suivants (selon que h est positif ou négatif) :
Généralisation La portion de S délimitée par deux plans distincts P et Q, parallèles au plan (xOy), d’équations respectives :
est un cylindre de révolution, droit. Le système le représentant est :
6-3 Le cône de révolution Définition Soit une direction quelconque D de l’espace muni d’un repère orthonormal R.
Soit d une droite quelconque sécante à D au point A. A est appelé sommet de cette surface conique de révolution. L’angle (D,d) est appelé angle de rotation de cette surface conique de révolution. d est appelée génératrice de cette surface et D, son axe de révolution.
Soit dans ce même espace, un plan P tel que : - A n’appartient pas à P - D est orthogonale à P Dans ces conditions, P est sécant à S et l’intersection est un cercle (C) dont le centre appartient La portion de S comprise entre le sommet A et le plan P est appelée cône de révolution, droit d’axe D, de génératrice d. (C) sera appelé directrice ou base de ce cône.
Equations du cône de révolution, droit
Soit S cette surface. Soient M(x , y , z) un point quelconque de S et P le plan passant par M et parallèle au plan (xOy). P rencontre D au point H, projeté orthogonal de M sur D. L’intersection de P et de S est donc un cercle inclus dans P, de centre H et de rayon HM. M appartenant à ce cercle, on obtient le système :
Or,
Le système s’écrit alors :
En posant tan α égale à a, on obtient finalement :
C’est le système d’équations représentant la surface conique de révolution, droite S.
Soit un plan Q parallèle à (xOy) et d’équation :
La portion de S délimitée par le sommet A et Q est un cône de révolution, droit, de sommet A, d’axe D, de directrice le cercle intersection de S et de P (C) et de génératrice d. Le système d’équations représentant ce cône est l’un ou l’autre des deux systèmes suivants
Généralisation La portion de S délimitée par deux plans distincts Q et R, parallèles au plan (xOy), d’équations respectives :
est représentée par le système d’équations :
6/18/2006 Géométrie vectorielle - Notion de barycentre - 1ère partieAuteur : Raymond RICHA
1- Rappel de quelques propriétés établies en géométrie dans l’espace Trois points non alignés quelconques de l’espace définissent un plan. (Figure 1)
Figure 1 : les trois points non alignés A, B et C définissent le plan (P). Chacun de ces trois points appartient au plan (P)
Dans l’espace, la donnée de trois points non alignés quelconques définit un plan.
Une droite quelconque de l’espace et un point quelconque de cet espace n’appartenant pas à cette droite définissent un plan. (Figure 2)
Figure 2 : La droite d et le point A ne lui appartenant pas définissent le plan (P) Il suffit de prendre deux points B et C distincts appartenant à d
Dans l’espace, la donnée d’une droite quelconque et d’un point quelconque n’appartenant pas à cette droite définit un plan.
Deux droites concourantes quelconques de l’espace définissent un plan qui les contient.
Figure 3 : d et d’ concourantes au point O définissent le plan (P) Il suffit de prendre un point A différent de O et quelconque
Deux droites de l’espace sont dites parallèles si elles appartiennent à un même plan et si leur intersection est vide.
Remarque importante Deux droites de l’espace peuvent avoir une intersection vide tout en n’étant pas parallèles.
Dans l’espace, une droite d non incluse dans un plan P est dite parallèle à P si son intersection avec P est vide.
Dans l’espace, une droite d est parallèle à un plan P si et seulement s’il existe au moins une droite d’ contenue dans P et parallèle à d. (Figure 4)
Figure 4
Démonstration Par hypothèse on a d parallèle à P. Conclusion : d et d’ incluses dans Q et non concourantes sont parallèles. Réciproque Par hypothèse, on a d’ incluse dans P et parallèle à d. Conclusion : d est parallèle à P
Dans l’espace, une droite d non contenue dans un plan P est parallèle à ce plan si et seulement s’il existe au moins un plan Q contenant d et rencontrant P selon une droite d’ parallèle à d. (Figure 5)
Figure 5 Démonstration Conclusion : d’ est parallèle à d. Réciproque Par hypothèse on a, d non contenue dans P, Q un plan contenant d et tel que son intersection avec P est une droite d’ parallèle à d. Conclusion : d est parallèle à P.
Deux plans de l’espace sont dits parallèles si leur intersection est vide.
Dans l’espace, on donne un plan P quelconque et une droite d parallèle à ce plan.
Deux plans de l’espace sont parallèles, si et seulement si, l’un, quelconque, de ces deux plans, contient deux droites concourantes telles que chacune d’elle est parallèle à l’autre plan.
Figure 6 : d et d’ sont deux droites incluses dans Q, concourantes, telles que chacune P et Q sont parallèles Démonstration Par hypothèse on a : P et Q deux plans parallèles ; d et d’ deux droites concourantes quelconques incluses dans Q. On démontre que d et d’ sont parallèles à P. Si d rencontrait P au point M, alors M serait commun à P et Q ; ce qui contredirait l’hypothèse qui énonce que P et Q sont parallèles. Par conséquent, d est parallèle à P. Si d’ rencontrait P au point M’, alors M’ serait commun à P et Q ; ce qui contredirait l’hypothèse qui énonce que P et Q sont parallèles. Par conséquent, d’ est parallèle à P. Conclusion : d et d’ sont parallèles à P. Réciproque Par hypothèse on a : d et d’ deux droites concourantes au point O, incluses dans Q, et telles que d est parallèle à P et d’ parallèle à P. On démontre que P est Q sont deux plans parallèles. Si P et Q ne sont pas parallèles, alors il existerait une droite D qui serait leur intersection. Q contenant la droite d parallèle à P, D serait alors parallèle à d. Q contenant la droite d’ parallèle à P, D serait alors parallèle à d’. Dans le plan Q, on aurait ainsi mené du point O deux droites distinctes d et d’, parallèles à D ; ce qui contredit l’axiome d’Euclide. Conclusion : P et Q sont parallèles.
Dans l’espace, un plan quelconque sécant à des plans parallèles rencontre ces derniers selon des droites parallèles. (Figure 7)
Figure 7 : P et Q deux plans parallèles R sécants à P et Q Par conséquent, d et d’ sont parallèles
Démonstration On a par hypothèse, deux plans P et Q parallèles et un plan R sécant à P et à Q, quelconque. Soient d’ l’intersection de R et de P et d’ celle de R et Q. On démontre que d et d’ sont parallèles. Si d et d’ étaient concourantes au point M, alors ce point serait commun à P et à Q ; ce qui contredirait l’hypothèse qui énonce que P et Q sont parallèles. Conclusion : d et d’ étant incluses dans R et non concourantes sont parallèles.
Construction de sections planes Soit, dans l’espace, un objet géométrique (F) quelconque. On appelle section plane de (F) par un plan qui lui est sécant l’intersection de (F) avec ce plan. Dans des problèmes de géométrie dans l’espace, souvent la construction des sections planes d’un objet permet de comprendre les propriétés géométriques de cet objet et assure une clarté à la figure.
Exemples de sections planes : La section plane d’une sphère par tout plan qui lui est sécant est un cercle ; de plus si ce plan passe par le centre de la sphère, alors la section plane est un grand cercle de cette sphère. La section plane d’un cube ou d'un parallélépipède rectangle par un plan contenant deux arêtes symétriques dans la symétrie centrale O, centre de ce cube ou de ce parallélépipède rectangle, est un rectangle. La section plane d'un parallélépipède quelconque (dit aussi oblique) par un plan contenant deux arêtes parallèles, est un parallélogramme. La section plane d'un tétraèdre quelconque par un plan parallèle à une quelconque des faces de ce tétraèdre est un triangle. De plus, le théorème de Thalès s'applique à cette face et ce triangle. La section plane d’un tétraèdre régulier par un plan parallèle à une quelconque des faces de ce tétraèdre est un triangle équilatéral. La section plane d’un cône de base circulaire (C) par un plan parallèle à cette base est un cercle. La section plane d’un cylindre par un plan parallèle à sa base est un cercle.
Pour construire une section plane d’un objet (F) par un plan P qui lui est sécant, il faut d’abord avoir une bonne vision dans l’espace. Il faut repérer des droites coplanaires contenues dans le plan P. Si ces deux droites sont concourantes, alors leur point d’intersection est un point supplémentaire appartenant P, et cette conclusion facilite, par la suite, la construction de la section plane à construire.
Exemple : Sur la figure 8 ci-dessous, (ABCDEFGH) est un cube. M est un point de [BF], N, un point de [AE] et P, un point de [CD]. On demande de construire la section plane de ce cube par le plan (MNP).
Figure 8
M et N appartenant à (MNP), [MN] est inclus dans (MNP). [MN], étant simultanément inclus dans la face (ABFE) et dans (MNP), est alors l’intersection de cette face et de (MNP). (MN) coupe (BA) au point I. I appartenant à (MN) appartient alors à (MNP). I et P appartenant à (MNP), (IP) est alors incluse dans ce plan et Q, intersection de (IP) et de [AD], appartient à (MNP). Q et N appartenant à (MNP), [QN] est inclus dans ce plan. [QN], étant simultanément inclus dans la face (ADHE) et dans (MNP), est alors l’intersection de cette face et de (MNP). [PQ], étant simultanément inclus dans la face (ABCD) et dans (MNP), est alors l’intersection de cette face et de (MNP). (IP) rencontre (BC) au point S. S appartenant à (IP) appartient alors à (MNP). S et M appartenant à (MNP), (SM) est alors incluse dans ce plan et R, intersection de (SM) et [CG], appartient à (MNP). R et M appartenant à (MNP), [RM] est inclus dans ce plan. [RM], étant simultanément inclus dans la face (BCGF) et dans (MNP), est alors l’intersection de cette face et de (MNP). [PR], étant simultanément inclus dans la face (CDHG) et dans (MNP), est alors l’intersection de cette face et de (MNP). La section du cube (ABCDEFGH) et du plan (MNP) est alors le pentagone (MNQPR).
2- Espace des vecteurs
2-1 Définitions Un vecteur de l’espace est défini par : - la droite qui le porte appelée son support ou sa direction - ses deux extrémités qui définissent sur ce support un segment dont la longueur est appelée module ou longueur géométrique de ce vecteur - son sens d’orientation, de son origine vers son extrémité (cette origine et cette extrémité étant les extrémités du segment ayant défini le module)
(Figure 9)
Figure 9
On écrit :
On lit respectivement : « vecteur U ; vecteur V ; vecteur w et vecteur MN ».
Deux vecteurs sont dits égaux (ou encore équipollents) s’ils ont même direction ou support (ou des directions parallèles), même module et même sens. (Figure 10)
Figure 10 :
On note E l’espace des vecteurs. On définit dans cet espace une addition, nommée addition vectorielle, ayant les propriétés suivantes :
On définit également dans E une multiplication d’un nombre réel par un vecteur de la manière suivante :
2-2 Relation de Chasles Soient A, B et C trois points quelconques de l’espace. On a :
Ce sont les deux écritures de ce qu’on appelle relation de Chasles. On en déduit immédiatement que :
Généralisation de la relation de Chasles
2-3 Construction géométrique d’une somme et d’une différence de deux vecteurs donnés
(Figure 11)
Figure 11
(Figure 12)
Figure 12
2-4 Construction géométrique d’une somme de plusieurs vecteurs donnés
Figure 13
3- Vecteurs colinéaires Définition
Figure 14
D’où la deuxième définition de la colinéarité de deux vecteurs non nuls de l’espace : deux vecteurs non nuls de l’espace sont dits colinéaires si leurs directions sont parallèles ou confondues.
Figure 15
A titre d’exercice, je te laisse démontrer ce théorème. La démonstration comporte deux parties : on démontre la condition nécessaire et celle suffisante.
4- Combinaison linéaire de deux vecteurs - Vecteurs coplanaires
La coplanarité de ces trois vecteurs se caractérise par la propriété suivante :
Figure 16
A titre d’exercice, je te laisse démontrer ce théorème. La démonstration comporte deux parties : on démontre la condition nécessaire et celle suffisante.
5- Caractérisation d’une droite et d’un plan de l’espace
5-1 Caractérisation d’une droite
Figure 17
Il est facile d’établir les théorèmes suivants :
Figure 18
5-2 Caractérisation d’un plan
Figure 19
Il est facile d'établir le théorème suivant :
Figure 20
6- Caractérisation de droites et plans parallèles
Théorème
Démonstration
Figure 21
d étant parallèle à P, soit un plan Q quelconque contenant d et sécant à P ; soit d’ l’intersection de Q et P. Q contenant d parallèle à P, d’est donc parallèle à d.
Théorème
(Figure 22)
Figure 22
Démonstration Au début de ce chapitre, on a établit que deux plans sont parallèles si et seulement si l’un d’eux contient deux droites concourantes telles que chacune d’elles est parallèle à l’autre plan. On a également établit que si deux plans sont parallèles, tout plan qui leur est sécant, les coupera selon deux droites parallèles.
Réciproque Par hypothèse, on a :
On démontre alors que P et P’ sont parallèles.
Le plan P, contenant deux droites concourantes d et d’, chacune d’elles étant parallèles au plan P’, est donc parallèle au plan P’. Géométrie vectorielle - Notion de barycentre - 2ème partieAuteur : Raymond RICHA
7- Barycentre d’un système de points de l’espace 7-1 Introduction : signification de la notion de barycentre d’un système fini de points de l’espace Le barycentre d’un système fini de points de l’espace, affectés de coefficients réels, est le modèle mathématique du barycentre d’un système fini de points matériels, affectés de masses. 7-2 Définitions
Le point G est appelé barycentre du système de ces n points.
Remarque importante Le barycentre n’existe que si la somme des coefficients réels est différente de zéro. Cas particulier
Démonstration Existence du barycentre Soit O un point quelconque de l’espace. En appliquant la relation de Chasles, l’égalité vectorielle peut s’écrire :
ou
Unicité du barycentre Supposons que le système admette un second barycentre G’ ; on a donc :
La relation de Chasles permet d’écrire :
Une deuxième définition du barycentre d’un système fini de points pondérés
Si l’on fait confondre O avec G, cette dernière égalité vectorielle donne à nouveau :
7-3 Propriétés 1ère propriété
Le barycentre est inchangé (on dit aussi invariant) lorsque l’on multiplie les coefficients par un réel non nul. 2ème propriété
Si l’on peut extraire de ce système un sous système défini comme suit :
alors ce sous système admet un barycentre g.
C’est ce qu’on appelle l’associativité du barycentre. A titre d’exercice, démontre cette propriété pour le système :
sachant que l’on a :
Exercices 1) On donne un tétraèdre (ABCD). On désigne par M, N, P, Q, R et S, les milieux respectifs des arêtes [AB], [AC], [AD], [BC], [CD] et [BD].
a- Montre que le quadrilatère (MNRS) est un parallélogramme. b- En déduire que les droites (MR), (NS) et (PQ) sont concourantes.
Solution a- Dans le plan (ABC), M et N étant respectivement milieux des côtés [AB] et [AC] du triangle (ABC), on a :
Dans le plan (BCD), R et S étant respectivement milieux des côtés [CD] et [BD] du triangle (BCD), on a :
Par conséquent,
b- (MNRS) étant un parallélogramme, ses diagonales [MR] et [NS] concourent en leur milieu O. Dans le plan (ABC), M et Q étant respectivement milieux des côtés [AB] et [BC] du triangle (ABC), on a :
Dans le plan (ACD), P et R étant respectivement milieux des côtés [AD] et [DC] du triangle (ACD), on a :
Par conséquent,
(MPRQ) étant un parallélogramme, ses diagonales [MR] et [PQ] concourent en leur milieu. Or, le milieu de [MR], diagonale du parallélogramme (MNRS), est O. Par conséquent, O appartient à [PQ] et les droites (MR), (NS) et (PQ) concourent au point O.
2) On donne un parallélépipède oblique (ABCDA’B’C’D’) ; On a :
Soient M, N, O, P, Q et R les centres des faces respectives (ABCD), (A’B’C’D’), (ADD’A’), (BCC’B’), (ABB’A’) et (DCC’D’). 1° Montre que le quadrilatère (MONP) est un parallélogramme. 2° En déduire que les droites (MN), (OP) et (QR) sont concourantes.
Solution
1° Dans le plan (A’DB), O et M étant milieux respectifs des côtés [A’D] et [DB] du triangle (A’DB), on a :
Dans le plan (B’D’C), N et P étant milieux respectifs des côtés [B’D’] et [B’C] du triangle (B’D’C), on a :
On en déduit :
2° (MONP) étant un parallélogramme, ses diagonales [MN] et [OP] concourent en leur milieu. Dans le plan (A’DB), Q et M étant milieux respectifs des côtés [A’B] et [DB] du triangle (A’DB), on a :
Dans le plan (B’D’C), N et R étant milieux respectifs des côtés [D’B’] et [D’C] du triangle (B’D’C), on a :
Par conséquent,
Par conséquent, les droites (MN), (OP) et (QR) sont concourantes.
3) On donne un tétraèdre (ABCD). On définit les points E et F par les égalités vectorielles :
Démontre que les plans (BCD) et (AEF) sont parallèles.
Solution
Construction des points E et F
On a donc :
On a donc :
On démontre ensuite que les plans (BCD) et (AEF) sont parallèles.
La relation de Chasles appliquée à l’égalité vectorielle :
donne :
La relation de Chasles appliquée à l’égalité vectorielle :
donne :
Ces deux dernières équations étant incompatibles, il n’existe donc pas un réel k tel que :
4) On donne un tétraèdre (ABCD). On donne également les points E et F définis comme suit :
Démontre que les plans (BCD) et (AEF) sont parallèles.
(Tu démontreras que les points A, E et F ne sont pas alignés)
Solution
Construction des points E et F
On a donc :
On a donc :
La relation de Chasles appliquée à l’égalité vectorielle :
donne :
La relation de Chasles appliquée à l’égalité vectorielle :
donne :
Ces deux dernières équations étant incompatibles, il n’existe donc pas un réel k tel que :
Le plan (AEF) est donc défini.
5) On donne un tétraèdre (ABCD). Soit E l’image de B dans la symétrie centrale de centre C. Soit F l’image de B dans la symétrie centrale de centre D. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CD]. Démontre que la droite (IJ) est parallèle au plan (AEF). Solution
La relation de Chasles permet d’écrire :
L’égalité vectorielle s’écrit alors :
Comme J est le milieu de [CD], on a :
Par ailleurs, C et D étant les milieux respectifs de [EB] et [BF], on a :
D’où
Par conséquent, on a :
6) On donne un tétraèdre (ABCD). a- Construis les points E, E’, F et F’ définis par les relations vectorielles suivantes :
b- Démontre que les droites (BD) et (E’F’) sont parallèles en prouvant la colinéarité des vecteurs :
Je te laisse résoudre cet exercice.
7) Soit un tétraèdre (ABCD). a- Construis les points I, E, F et G définis comme suit :
b- Démontre que les points I, E, F et G sont coplanaires. c- Soit H le milieu de [BI]. Démontre que les plans (IEF) et (HCD) sont parallèles.
Solution a-
Je te laisse faire la construction des points I, E, F et G.
b-
La relation de Chasles permet d’écrire :
I étant milieu de [AB], on a :
D’où
On en tire :
D’où
I étant milieu de [AB], on a :
On en déduit :
D’où
c-
La relation de Chasles permet d’écrire :
Par ailleurs, à l’aide de la relation de Chasles, on a :
On en tire :
D’où
Par conséquent, on obtient :
Cette dernière égalité vectorielle peut donc s’écrire :
Or, plus haut on a démontré que :
D’où
Cette dernière égalité vectorielle peut donc s’écrire :
8) Construction du barycentre d’un système de points La méthode générale Pour construire le barycentre d’un système de points pondérés de l’espace, on doit : a- écrire la relation vectorielle définissant le barycentre considéré ; b- transformer cette relation vectorielle afin d’obtenir un vecteur dont une des extrémités est le barycentre, en fonction de vecteurs fixes connus ; c- construire le barycentre en utilisant la relation vectorielle transformée à l’étape b.
8-1
8-2 A, B et C sont les sommets d’un triangle.
8-3 On donne un quadrilatère (ABCD).
Solution 8-1 On vérifie d’abord si la somme des coefficients est différente de zéro, sinon le barycentre n’existe pas. On a :
Donc, le barycentre G à construire existe. La relation vectorielle définissant G est :
On transforme cette relation à l’aide de la relation de Chasles ; on obtient :
Cette dernière égalité vectorielle implique que G appartient à la droite (AB) et que l’on a :
Avec ces conclusions, il devient facile de construire G.
On vérifie d’abord si la somme des coefficients est différente de zéro. On a :
Donc, le barycentre G à construire existe. La relation vectorielle définissant G est :
On transforme cette relation à l’aide de la relation de Chasles ; on obtient :
D’après la relation de Chasles, on a :
Finalement, on obtient :
On obtient la figure suivante :
8-3 Je te laisse résoudre cette partie. Tu dois trouver comme résultat, la relation vectorielle :
9) Comment reconnaître un barycentre ? La méthode générale On doit, au départ, avoir une relation vectorielle entre tous les points donnés. A l’aide des outils du calcul vectoriel, on transforme cette relation vectorielle afin qu’elle prenne la forme de celle ayant servie à la définition du barycentre. Ayant obtenu cette forme, on s’assure que la somme de ses coefficients réels est différente de zéro.
9-1
9-2
9-3 On donne quatre points A, B, C et D. Soit le point M tel que :
Démontre que M est le barycentre des quatre points donnés affectés de coefficients à déterminer.
Solution 9-1 1° On transforme la relation vectorielle donnée pour la mettre sous la forme de celle ayant servi à définir le barycentre ; on a :
2° Je te laisse faire cette partie ; tu dois trouver comme résultat :
9-2 Je te laisse faire cette partie ; tu dois trouver comme résultat : 1°
2°
9-3 On transforme la relation vectorielle donnée pour la mettre sous la forme de celle ayant servi à définir le barycentre, ceci en utilisant la relation de Chasles, dans le second membre de la relation donnée ; on a :
10) On donne dans l’espace un tétraèdre (ABCD). Soient I et J les milieux respectifs des arêtes [AC] et [BD]. Soit G le barycentre des points pondérés (A,1), (B,2), (C,1) et (D,2). 1° Soient M le barycentre de (A,1) et (B,2) et N celui de (C,1) et (D,2). Démontre que G est milieu de [MN] et construis G. 2° Démontre que les points I, J et G sont alignés et précise la position de G à l’aide d’une relation vectorielle. Solution
1° G étant le barycentre des points pondérés (A,1), (B,2), (C,1) et (D,2), on a :
M étant le barycentre de (A,1) et (B,2) et N celui de (C,1) et (D,2), on a :
La propriété d’associativité du barycentre permet de grouper les points (A,1) et (B,2) en les remplaçant par leur barycentre M affecté du coefficient :
La même propriété permet de grouper les points (C,1) et (D,2) en les remplaçant par leur barycentre N affecté du coefficient :
La relation vectorielle ayant permis de définir G devient alors :
Les relations suivantes permettent de construire M et N :
On a :
Après avoir positionné M et N, on construit le point G, milieu de [MN]. On obtient la figure suivante :
2° On utilise l’associativité du barycentre, en groupant, d’une part les points pondérés (A , 1) et Le barycentre des points pondérés (A , 1) et (C , 1) est le milieu I de [AC] ; celui des points pondérés (B , 2) et (D , 2) est le milieu J de [BD]. Le point G est donc le barycentre des points pondérés (I , 1 + 1) ou (I , 2) et (J , 2 + 2) ou (J , 4) ; on obtient donc la relation vectorielle :
G appartient donc à [IJ] et se situe aux deux tiers de IJ comptés à partir de I.
11) Soit (SABC) un tétraèdre de l’espace.
1° a)
b) Démontre que G est le milieu de [BM].
2° Soient N et P les points tels que (SANB) et (SBPC) sont des parallélogrammes.
3° Soit K le centre de gravité du triangle (ABC). Démontre que les points S, K et G sont alignés.
Solution 1° a)
b)
Par conséquent G est milieu de [BM].
2° (SANB) étant un parallélogramme, on a :
Par conséquent G est milieu de [CN].
(SBPC) étant un parallélogramme, on a :
Par conséquent G est milieu de [AP].
3°
K étant le centre de gravité du triangle (ABC), on a :
Je te laisse résoudre l'exercice qui suit. 12) Dans le plan, on donne le triangle (ABC). Soit M le milieu de [AC] et soient les points N et P définis comme suit :
1° Ecris M comme barycentre de A et C, puis N comme barycentre de A et B et enfin P comme barycentre de B et C. 2° Démontre que les droites (MB), (NC) et (PA) sont concourantes. 5/30/2006 Pyramide et côneAuteur : Raymond RICHA
Convention
d’un solide représenté dans l’espace à trois dimensions sera représenté par une ligne discontinue
1- Les pyramides
1-1 Définitions et propriétés Dans un plan de l’espace, on considère un polygone quelconque (P).
On joint S à chacun des sommets de (P).
Le solide de cet espace, délimité par S et (P), est appelé pyramide.
S sera appelé sommet de cette pyramide et (P) sera appelé sa base.
Un segment qui joint S à un sommet quelconque de (P) sera appelé arête latérale de la pyramide.
Tout triangle formé par deux arêtes latérales adjacentes et le côté de (P) intercepté par ces deux arêtes latérales sera appelé face latérale de la pyramide.
La droite orthogonale au plan de (P), abaissée du sommet S, rencontre ce plan au point H ; le segment [SH] sera appelé hauteur de la pyramide.
Figure 1 : pyramide [S,(ABCD)]
Dans cette figure, le solide noté [S,(ABCD)] est une pyramide dont la base est le quadrilatère (ABCD). Son sommet est S. Les segments [SA], [SB], [SC] et [SD] sont ses arêtes latérales. Les triangles (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) sont ces faces latérales. La droite orthogonale au plan contenant (ABCD) abaissée du sommet S rencontre ce plan au point H ; [SH] est la hauteur de cette pyramide.
Propriété Dans une pyramide, toutes les faces latérales sont des triangles.
On dira que [S,(P)] est une pyramide régulière si et seulement si sa base (P) est un polygone régulier et le support de sa hauteur passe par le centre de ce polygone régulier.
Dans une pyramide régulière, toutes les arêtes latérales ont même longueur.
Deux cas particuliers 1er cas : base triangulaire Lorsque la base d’une pyramide est un triangle, cette pyramide sera appelée tétraèdre. (Figure 2)
Figure 2 : [S,(ABC)] est un tétraèdre
2ème cas : tétraèdre dont la base et les trois faces latérales sont toutes des triangles équilatéraux de même longueur de côtés
Figure 3 : [S,(ABC)] est un tétraèdre régulier
Lorsque la base et les trois faces latérales d’un tétraèdre sont toutes des triangles équilatéraux de même longueur de côtés, alors ce tétraèdre est
1-2 Aire latérale d’une pyramide L’aire latérale d’une pyramide est la somme des aires de ses faces latérales.
Cas particulier du tétraèdre régulier
On donne un tétraèdre régulier [S,(ABC)] dont la longueur commune des arêtes latérales est a. On a également :
[SH] étant sa hauteur, la droite (SH) passe par le centre H du cercle circonscrit à la base (ABC) qui est un triangle équilatéral; donc on a :
Soit F l’intersection de (AH) et de [BC] ; [AF] est la médiatrice de [BC] et F est milieu de [BC]. Dans la face latérale (SBC), [SF] est donc la médiane relative au côté [BC] du triangle équilatéral (SBC). Or, on sait que dans un triangle équilatéral, une médiane relative à un des ses côtés est simultanément médiatrice de ce côté ; par conséquent, dans (SBC), [SF] est médiatrice de [BC] et le triangle (SFC) est un triangle demi- équilatéral, rectangle en F. Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle donne :
Or,
Donc,
Par conséquent, on obtient :
En posant A l’aire de la face latérale (SBC), on obtient :
Comme dans un tétraèdre régulier, les trois faces latérales sont des triangles équilatéraux de même longueur de côtés, l’aire latérale de ce tétraèdre est donc :
1-3 Volume d’une pyramide Soit dans l’espace une pyramide quelconque [S,(P)] de sommet S et de base polygonale (P). Si B est l’aire de la base (P) et si h est la longueur de la hauteur de cette pyramide, alors le volume V de cette dernière est égal à :
On sait que le pied H de la hauteur de cette pyramide est le centre du cercle circonscrit à la base qui est un triangle équilatéral (ABC). H est également centre du cercle inscrit à ce triangle équilatéral ; donc [CH) est bissectrice de l’angle au sommet C. De plus, (AF) ou (HF) étant médiatrice de [BC] ; (HF) est perpendiculaire à (BC) ou (FC). Par conséquent, dans le triangle (CHF), rectangle en F, on a :
Le triangle (CHF) est donc un triangle demi-équilatéral. On sait que dans un triangle demi-équilatéral dont l’hypoténuse a pour longueur L, la longueur du côté opposé à l’angle de mesure 60° est égale à :
Par conséquent, dans (CHF), on obtient :
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle (SHF) donne :
On a démontré plus haut que :
Par conséquent, on obtient :
On sait que la base et toutes les faces latérales d’un tétraèdre régulier sont des triangles équilatéraux de même longueur de côtés. Donc, ils ont tous même aire et celle–ci a été calculée plus haut et est égale à :
Donc la base de ce tétraèdre a pour aire :
Le volume est donc :
2- Les cônes
2-1 Définitions et propriétés On donne dans un plan un cercle C(O,r) de centre O et de rayon r. D’un point S n’appartenant pas au plan de ce cercle, on mène une droite d rencontrant C(O,r) au point G. Lorsque G parcourt complètement le cercle C(O,r), la demi-droite [SG) génère dans l’espace une surface (s).
Le solide délimité par (s) et C(O,r) est appelé cône et est noté : [S , C(O,r)].
S est appelé sommet de ce cône.
Le cercle C(O,r) est appelé directrice de ce cône et le segment [SG] est sa génératrice.
L’aire de la surface (s) est appelée aire latérale de ce cône. La droite (SH) passant par S et orthogonale au plan de C(O,r) coupe ce plan au point H.
Un cas particulier Lorsque la hauteur d’un cône passe par le centre de sa base circulaire, ce cône sera alors appelé cône de révolution.
2-2 Aire latérale d’un cône de révolution
Soit un cône de révolution quelconque [S , C(O,r)]. Si on découpe sa surface latérale selon une génératrice [SG] et on développe cette surface, on obtient le schéma suivant :
Ce schéma représente la base circulaire de ce cône, de centre O et de rayon r, ainsi que le développement de sa surface latérale.
On obtient ainsi le patron de ce cône.
Ce patron permet de calculer l’aire latérale de ce cône.
Soit A cette aire.
2-3 Volume d’un cône
Exercices
1) On donne un cube (ABCDEFGH) de centre S. Trace ses diagonales. Quelle sont toutes les pyramides régulières de sommet S et de base carrée ? Solution
Dans un cube, une diagonale est un segment passant par le centre de ce cube et joignant deux sommets opposés. Ainsi, le cube (ABCDEFGH) possède quatre diagonales qui sont : [AG], [DF], [BH] et [EC]. On obtient six pyramides régulières de sommet S et de base carrée : [S , (ABFE)], [S , (DCGH)], [S , (BFGC)], [S , (ADHE)], [S , (EFGH)] et [S , (ABCD)]
2) La pyramide [A , (DCGH)] est inscrite dans le cube (ABCDEFGH). On te demande de calculer le volume de cette pyramide, sachant que la longueur commune des côtés du cube est a. Solution
On sait que dans un cube, le support de chaque arête latérale est orthogonale à une base. Par conséquent, dans la pyramide [A , (DCGH)], la droite (AD), support de l’arête latérale [AD], est orthogonale à la base carrée (DCGH) de cette pyramide. [AD] est donc la hauteur de cette pyramide.
Si V est le volume de cette pyramide, alors :
Le volume de cette pyramide est le tiers de celui du cube.
3) On donne un cylindre dont la base circulaire a pour centre O’ et pour rayon r. La hauteur [OO’] de ce cylindre a pour longueur OO’ égale à h. On inscrit dans ce cylindre une pyramide de sommet O et de base carrée (ABCD) inscrite dans la base circulaire de ce cylindre. a- Démontre que cette pyramide est régulière. b- On te demande de calculer, en fonction de h et de r, le volume de cette pyramide. c- On retire la pyramide de ce cylindre ; Quel est alors le volume restant ? Solution
a- (OO’) est le support de la hauteur [OO’] commune à ce cylindre et à la pyramide; de plus elle passe par le centre O’ du carré (ABCD). Par conséquent, la pyramide [O , (ABCD)] est régulière.
b- Calcul de l’aire de la base carrée (ABCD) de la pyramide On sait que dans un carré les diagonales se coupent en leur milieu et à angle droit. Par conséquent, dans (ABCD), le triangle (O’BC) est un triangle rectangle en O’ et isocèle. Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle donne :
L’aire de (ABCD) est donc :
Calcul du volume de la pyramide Si V est ce volume, alors :
Si V’ est le volume restant, alors :
Finalement, on obtient :
4) On souhaite réaliser une pièce d’avion en extrayant, d’un matériau dont la forme est un cône de révolution, une pyramide, selon le schéma suivant :
Le cône de révolution [S , C(O,r)] a pour sommet S et pour base le cercle (C) de centre O et de rayon r. La pyramide [S , (ABCDEF)] a pour sommet S et pour base un hexagone régulier (ABCDEF) inscrit dans (C). La hauteur commune de ce cône et de cette pyramide a pour longueur h. On demande de calculer le volume de la pièce obtenue. Solution
Calcul de VC
Calcul de VP
Dans le triangle équilatéral (OAB), on abaisse la hauteur [OH] relative au côté [AB]. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle (OHB) donne :
Donc,
On obtient :
L’hexagone régulier (ABCDEF) étant composé de six triangles équilatéraux tels que (OAB), a son aire égale à six fois celle de (OAB). On a donc :
Par conséquent,
Le volume de la pièce est :
5) On donne le patron d’un cône de révolution suivant :
On demande de calculer la longueur g de la génératrice de ce cône de révolution. Solution Le périmètre de la base de ce cône est :
6) On donne la figure suivante :
(ABCDEFGH) est un cube dont la longueur commune de ses côtés est a. Le cercle (C) de centre O est inscrit dans la base carrée (CDHG). On demande de calculer le rapport du volume du cône [A , (C)] de sommet A et de base (C) à celui du cube. Solution Soient V le volume du cube et V’ celui du cône. On a :
Calcul de V’
Par conséquent,
Le rapport de V’ à V est donc :
Les anglesAuteur : Raymond RICHA
Angles d’un triangle
On a appris dans les classes antérieures qu’un triangle se compose de trois sommets et de trois côtés qui, pris deux à deux, forment un angle dont le sommet est l’un des sommets du triangle. Par conséquent, un triangle possède trois angles de ce type appelés angles intérieurs.
Propriété :
Dans un triangle, tout angle adjacent et supplémentaire à un angle intérieur est appelé angle extérieur. Soit un triangle (ABC) quelconque pour lequel on a prolongé ses trois côtés [AB], [BC] et [AC] de manière que (AB) soit égale à (x’x), (BC) soit égale (y’y) et (AC) soit égale à (z’z).
Ses angles intérieurs sont :
La somme de leurs mesures est :
Propriété : Dans un triangle, la mesure d’un quelconque de ses angles extérieurs est égale à la somme des mesures des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. Démonstration La démonstration est établie pour un des angles extérieurs en A. Elle est la même pour les autres.
Or, on sait que :
Donc,
Deux quantités égales à une même troisième sont égales et finalement on obtient :
Position relative d’un angle par rapport à un cercle
On donne un cercle quelconque de centre O et de rayon r, noté C(O , r).
On appelle angle au centre tout angle dont le sommet est confondu avec le centre O.
Tout angle au centre intercepte un arc du cercle.
Etant donné un arc quelconque du cercle, on appelle mesure de cet arc, la mesure de l’angle au centre qui l’intercepte.
Il ne faut pas confondre la longueur d’un arc et sa mesure ; ce sont deux notions différentes. Par exemple, on dira que la longueur d’un arc est de 5cm, alors que sa mesure est de 30°.
Ainsi, à l’angle au centre mesurant 360° correspond le cercle tout entier dont la longueur est son périmètre. On a donc la correspondance :
C’est cette correspondance qu’on utilise pour calculer la longueur (resp. la mesure) d’un arc donné sur un cercle, connaissant la mesure (resp. la longueur) de cet arc.
Exemple :
D’où la propriété qui en découle : Sur un même cercle, deux arcs au centre de même mesure ont même longueur et réciproquement.
Cette propriété n’est plus vraie pour deux arcs, l’un appartenant à un cercle et l’autre à un cercle qui est concentrique au premier, interceptés par un même angle au centre. En effet ces deux arcs ont même mesure, cependant leurs longueurs sont différentes puisqu’elles sont fonctions des rayons différents de ces deux cercles concentriques. A titre d’exercice, je te demande de construire une figure illustrant cette remarque.
On donne un cercle quelconque de centre O et de rayon r, noté C(O , r).
On appelle angle inscrit tout angle dont le sommet appartient à ce cercle.
Propriété :
qu’il intercepte. Démonstration 1er cas : diamètre du cercle
On joint O à B. OM et OB sont égales au rayon du cercle ; donc le triangle (MOB) est isocèle.
2ème cas :
On joint M à O. La droite (MO) rencontre le cercle en un deuxième point N.
3ème cas : A titre d’exercice, je te laisse démontrer la propriété pour ce troisième cas. différence qu’il faudra retrancher des quantités au lieu de les additionner.
Cas particulier : un des côtés de l’angle inscrit est tangent au cercle
On appelle angle intérieur tout angle dont le sommet est à l’intérieur du cercle.
Propriété :
mesures des deux arcs, l’un intercepté par cet angle et l’autre intercepté par l’angle intérieur qui lui est opposé au sommet.
Démonstration
On joint M à P et N à P.
Tout angle dont le sommet est à l’extérieur du cercle et dont chacun des côtés est sécant ou tangent au cercle est appelé angle extérieur.
Propriété :
mesures des deux arcs interceptés par ses côtés. Démonstration 1er cas : les deux côtés de l’angle extérieur sont sécants au cercle
On joint A’ à B.
Par conséquent,
Finalement , on obtient :
2ème cas : l’un des côtés est tangent au cercle et l’autre, lui est sécant
On joint A’ à B.
Par conséquent,
Finalement , on obtient :
3ème cas : les deux côtés sont tangents au cercle
On joint A à B.
Par conséquent,
Finalement , on obtient :
Exercices
1) On donne la figure suivante :
Calcule les mesures des angles suivants :
Solution
On obtient finalement :
On obtient finalement :
2) On donne la figure suivante :
(xy) rencontre le cercle aux points A et B ; (x’y’) le rencontre aux points A’ et B’. (xy) et (x’y’) se coupent au point S.
Solution
Par conséquent, on obtient :
3) On donne dans un plan deux points distincts et fixes A et B. Trouve l’ensemble des points M tels que :
Solution
Soit la position d’un point M quelconque appartenant à l’ensemble à trouver. Soit (C) le cercle circonscrit au triangle (AMB). Soit O le centre de ce cercle. O appartient à la médiatrice d du segment [AB]. Or, A et B étant fixes, d l’est également.
Menons de B la demi-droite [Bx), tangente à (C) au point de tangence B. [Bx) étant une tangente à (C) au point B et [OB] étant un rayon de ce cercle dont l’extrémité est B, [Bx) est donc perpendiculaire à (OB). O appartient donc à la droite D perpendiculaire à [Bx) au point B.
Par conséquent, on a :
A et B étant fixes et la mesure d’angle de 50° étant une constante, la demi- droite [Bx) est donc fixe. D étant perpendiculaire à cette demi-droite fixe au point B est également fixe. O appartenant simultanément à deux droites fixes d et D est fixe. Par conséquent, le cercle (C) circonscrit au triangle (AMB), ayant son centre O fixe et son rayon OA ou OB constant (puisque O et A sont fixes), est fixe.
Par définition, cet arc (en rouge sur la figure) est appelé arc capable.
Remarque : L’énoncé de cet exercice aurait pu être le suivant : On donne dans un plan deux points distincts et fixes A et B. Un point M de ce plan se déplace tel que :
Trouve le lieu géométrique de M. La solution reste la même.
4) On donne la figure suivante :
Solution
Par ailleurs, on a :
Finalement, on obtient :
5) On donne un cercle C(O , r). Par un point S situé à l’extérieur de ce cercle, on mène les deux tangentes (Sx) et (Sy) à ce même cercle. Le point de tangence relatif à (Sx) est A et celui relatif à (Sy) est B.
Démontre que le triangle (SAB) est équilatéral. Solution
Par ailleurs, on sait que sur les deux tangentes à un cercle issues d’un même point, les segments délimités par ce point et les deux points de tangence ont même longueur. Par conséquent, on a :
Le triangle (SAB) ayant un angle de mesure 60° et deux côtés de même longueur, est équilatéral.
6) On donne deux cercles sécants C(O, r) et C’(O’ , r). Chacun de ces cercles passe par le centre de l’autre. Les intersections de C(O, r) et C’(O’ , r) sont les points A et B.
Solution
O’ appartenant à (C), on a :
O appartenant à (C’), on a :
Ainsi,
La symétrie axiale d’axe (OO’) permet d’en déduire que le triangle (OO’B) est également équilatéral. Par conséquent, on a :
7) a- Dans un plan, on donne un quadrilatère (ABCD) inscrit dans un cercle C(O , r). Démontre que les angles intérieurs de ce quadrilatère sont deux à deux opposés et supplémentaires. b- On donne dans un plan un quadrilatère convexe (ABCD) tel que deux de ses angles intérieurs et opposés sont supplémentaires. Démontre que (ABCD) est inscrit dans un cercle, autrement dit, que ses quatre sommets sont situés sur un même cercle. On dira alors que les points A, B, C et D sont cocycliques. c- Déduis des conclusions des questions a et b une condition nécessaire et suffisante pour qu’un quadrilatère convexe soit inscriptible dans un cercle.
Je te laisse résoudre cet exercice.
a- Pour cette question, il suffit d’effectuer la somme des mesures de deux angles intérieurs et opposés de ce quadrilatère, sachant que ces angles sont des angles inscrits. b- Pour cette question, on considère le cercle passant par trois quelconques des quatre sommets du quadrilatère, par exemple A, B et C et on démontre que le quatrième sommet, D, appartient à ce cercle. Pour cela, il suffit de raisonner par l’absurde : ce quatrième sommet D peut prendre trois positions par rapport au cercle passant par les trois autres sommets. quadrilatère, en D, a alors pour mesure la demi - somme ou la demi - différence des mesures de deux arcs et ceci aboutit à une contradiction avec l’hypothèse de supplémentarité de deux angles c- Pour qu’un quadrilatère convexe soit inscriptible dans un cercle, il faut et il suffit que deux angles intérieurs opposés de ce quadrilatère soient supplémentaires.
5/20/2006 Transformations ponctuelles - 1ère PartieAuteur ; raymond RICHA
1- Définition générale d’une transformation ponctuelle
Dans un plan (P) quelconque, une transformation ponctuelle T est une application dans (P). T applique à tout point M appartenant à (P) un point et un seul M’ appartenant à (P). M’ sera appelé image de M par la transformation ponctuelle T. On écrit :
On dit aussi que le point M est l’antécédent du point M’ par T.
Si un point M du plan (P) coïncide avec son image, alors on dira que M est un point invariant pour la transformation ponctuelle T. On a donc :
Une transformation ponctuelle dans (P), notée Id, est dite transformation identique si et seulement si elle rend invariant tout point de (P). Dans ce cas, on a :
2- Composition de deux ou plusieurs transformations ponctuelles Soient dans un plan (P) deux transformation ponctuelles quelconques T et T’. On appelle composée de T suivie de T’, la transformation ponctuelle, C, dans (P) définie comme suit :
Cette écriture est donc logiquement équivalente à :
C peut également s’écrire :
Remarque importante : cette dernière écriture se lit On peut donc lire, comme en langue arabe, de droite à gauche, T suivie de T’.
Il est évident que la composition des transformations n’est pas commutative ; c’est-à-dire qu’en général, il existe au moins T et T’ telles que :
alors on dira que T’ est la transformation ponctuelle symétrique de T par la composition des transformations ponctuelles.
Une transformation T dans un plan (P) est dite involution ou encore involutive si et seulement si elle est identique à sa symétrique par la composition des transformations ponctuelle ; dans ce cas on a :
Dans un plan (P), la composition des transformations ponctuelles est associative ; c’est-à-dire :
3- Image d’un ensemble de points d’un plan par une transformation ponctuelle Soit dans un plan (P) une transformation ponctuelle T. Soit un ensemble E quelconque de points M de (P). L’ensemble E’ des points images des points M par T est appelé image de E par T ; il est noté :
Un ensemble E de points M de (P) sera dit invariant point par point, par T, si et seulement si tout point M de E est invariant par T. Un ensemble E de points M de (P) sera dit globalement invariant, par T, si et seulement si :
antérieures La symétrie centrale Soit dans un plan (P) un point O quelconque. On appelle symétrie centrale de centre O, la transformation dans (P) , notée SO, et définie comme suit :
Une autre définition de la symétrie centrale On peut définir la symétrie centrale à l’aide des vecteurs ; en effet :
La symétrie centrale dans un plan muni d’un repère
Or,
On sait que deux vecteurs sont égaux (on dit aussi équipollents) si et seulement si leurs composantes scalaires de même nom le sont ; ainsi :
Dans la symétrie centrale dont le centre est l’origine du repère, tout point M a pour image le point M’ dont l’abscisse et l’ordonnée sont respectivement les opposées de celles de M.
Réciproquement, si deux points M et M’ de ce plan ont leurs abscisses et leurs ordonnées respectivement opposées, alors ils sont symétriques dans la symétrie centrale dont le centre est l’origine du repère.
Conclusion Pour que deux points du plan soient symétriques par rapport à l’origine du repère, il faut et il suffit que leurs abscisses et leurs ordonnées soient opposées.
De cette conclusion, on peut déduire la propriété suivante :
Cette propriété permet de dire que d’une manière générale, l’image d’un vecteur par une symétrie centrale est un vecteur qui lui est opposé.
Propriétés de la symétrie centrale Le seul point du plan (P) invariant par la symétrie centrale de centre O est le point O.
globalement invariante par cette symétrie centrale. Démonstration
La droite (x’x) passe par O. Tout point M de la demi-droite [Ox’), différent de O, a pour symétrique le point M’ de lademi-droite [Ox), tel que :
Ces points M ne sont pas invariants par cette symétrie. Cependant, l’image de [Ox) est [Ox’) et réciproquement ; donc la droite (x’x), union de ces deux demi-droites, est globalement invariante par cette symétrie.
La symétrie centrale est une involution. Démonstration Dans le plan (P), soit une symétrie centrale quelconque SO, de centre O. Soit M un point quelconque appartenant à (P). Soient :
On a donc :
Par conséquent,
Donc, M’’et M sont confondus et par conséquent,
Donc,
La symétrie centrale conserve l’alignement de points : si trois points sont alignés, alors leurs images le sont également.
Toute droite du plan ne passant pas par le centre d’une symétrie centrale a pour image une droite qui lui est parallèle.
On en déduit que la symétrie centrale conserve le parallélisme : deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles.
La symétrie centrale conserve l’orthogonalité de deux droites : deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites perpendiculaires.
La symétrie centrale conserve les distances.
La symétrie centrale conserve les milieux de segments : si S est un segment de milieu M, alors son image S’ est un segment de milieu M’, M’étant l’image de M.
La symétrie centrale conserve les angles.
La symétrie centrale conserve les aires.
La symétrie centrale conserve les propriétés géométriques d’une figure. L’image d’un carré est un carré de même dimension ; l’image d’un rectangle est un rectangle de mêmes dimensions, l’image d’un triangle est un triangle de mêmes périmètre et aire ; l’image d’un polygone quelconque est un polygone de mêmes périmètre et aire. centre du cercle qui lui est circonscrit et centre de gravité, respectivement les points H, I, J et G, a pour image par une symétrie centrale quelconque, un triangle dont l’orthocentre, le centre du cercle qui lui est inscrit, le centre du cercle qui lui est circonscrit et le centre de gravité, sont les symétriques H’, I’, J’ et G’ des points H, I, J et G.
Un cercle quelconque de centre P et de rayon r a pour image par une symétrie centrale quelconque un cercle de centre P’, image de P par cette symétrie et pour rayon r. Un cas particulier : si un cercle a son centre confondu avec le centre d’une symétrie centrale, alors il est globalement invariant par cette symétrie.
Soit dans un plan (P) une droite d quelconque. On appelle symétrie axiale d’axe d, la transformation dans (P) , notée Sd, et définie comme suit :
D est donc médiatrice du segment [MM’] : l’axe de symétrie est médiatrice du segment obtenu en joignant un point à son image.
La symétrie axiale dans un plan muni d’un repère orthogonal
Par conséquent, (MM’) parallèle à l’axe des abscisses ; donc, les ordonnées de M, M’ et H sont égales. Ainsi,
De plus,
Or, H appartient à l’axe des ordonnées ; donc son abscisse est nulle et ainsi :
Dans la symétrie axiale d’axe, l’axe des ordonnées du repère orthogonal, tout point M a pour image le point M’ dont l’abscisse est l’opposée de celle de M et l’ordonnée est égale à celle de M.
Réciproquement, si deux points M et M’ de ce plan ont leurs abscisses opposées et leurs ordonnées égales, alors ils sont symétriques dans la symétrie axiale, d’axe, l’axe des ordonnées du repère orthogonal. Conclusion Pour que deux points du plan soient symétriques par rapport à l’axe des ordonnées du repère orthogonal, il faut et il suffit que leurs abscisses soient opposées et leurs ordonnées égales.
d’axe, l’axe des abscisses d’un repère orthogonal. Dans la symétrie axiale d’axe, l’axe des abscisses du repère orthogonal, tout point M a pour image le poin |
